1樓：Acehood
Hilbert在2023年證明了這樣乙個定理：當且僅當n不大於2 或 d=2 或（n，d）=（3，4）時，任意的n元d次齊次非負多項式能寫成多項式的平方和
特別地，當 n=3，d=4時能表示為三平方和
2樓：
n=1的時候是對的，但n＝2就不對了。
n=1的時候證明是對d=degree f做歸納。 首先d是偶數，d=0顯然。
若f非負，記f最小值是c非負，那麼f-c非負，且有根a。 那麼 (x-a)整除f-c。 因為f在a點附近非負，(x-a)^2整除f-c。
則g:=(f-c)/(x-a)^2仍然非負。 由歸納假設，他是平方和。
所以f=(x-a)^2g+c是平方和。 得證。
n=2時不對。 希爾伯特其實已經證明了。
後來Motzkin給了個非常簡單的例子f(x,y)=x^4y^2 +x^2y^4 +13x^2y^2.
因為f(x,y)=(x^2y^2(x^2 +y^2 +1)(x^2 +y^2 2)^2 +(x^2 y^2)^2)/(x2 + y2)^2 所以在R^2上非負。
但是若f＝求和 f_i^2, f_i最多3次。 f(x,0)=f(0,y)=1, 所以f_i(x,0)=f_i(y,0)為常數c_i. f_i有形式c_i+a_ixy+b_ixy^2+d_ix^2y那麼 f中x^2y^2的係數＝－3=求和a_i^2 非負， 矛盾。
這個問題和希爾伯特第17問題有關。 問題是，這樣的f能否寫出有限個實有理式的平方和。 艾公尺阿婷給了肯定的回答。
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