1樓：考呀數學
實際上我們有乙個更一般的結論。
性質.假設 是乙個(integrally closed)整閉的整環， 是它的分式域。對於首一多項式 ，假設 在 中可約，那麼 在 中可約。
特別地，唯一分解整環一定是整閉的。
一類很重要的例子是：假設 是乙個代數數域即 的有限可分擴張， 是 的代數整數環，那麼 是整閉的。例如 ，此時 ，那麼對於首一多項式 的可約性即可在 中進行考察。
而以上性質的證明並不依賴於Gauss引理。
2樓：王飛
假若乙個多項式的係數的最高公因子等於一，我們就叫這個多項式做乙個本原多項式。
有了這個定義後，就可以證明高斯的預備定理了。
預備定理Ⅰ兩個本原多項式的乘積仍然是乙個本原多項式。
證明略預備定理Ⅱ如果整係數多項式f（x）在有理數域內可約，那麼它就能分解成為兩個較低次的整係數多項式的乘積。
證明因為f（x）在有理數域內可約，所以可以把f（x）寫成下式：
f（x）=φ（x）ψ（x），
式中的φ（x）和ψ（x）都是以有理數為係數的多項式，並且次數低於f（x）。
如果多項式φ（x）和ψ（x）的所有係數都是整數，則定理已經成立。因此設φ（x）和ψ（x）有分數係數。我們以m1表示多項式φ（x）的係數的公分母而以m2表示ψ（x）的係數的公分母。
於是有φ（x）=φ1（x），ψ（x）=ψ1（x），
這裡φ1（x）與ψ1（x）已經是整數係數多項式了。再，以d1表示φ1（x）的係數的最大公因子並且以d2表示ψ1（x）的係數的最大公因子，提出這些最高公因子後可以寫
φ（x）=φ1（x）=g（x），ψ（x）=ψ1（x）=h（x），
式中的g（x）和h（x）都代表本原多項式。由上述，f（x）就可以寫成：
f（x）=g（x）h（x）。
現在我們證明是整數。首先，可令=，r和q代表互質的整數。因為f（x）的係數是整數，所以對於乘積g（x）h（x）的任意乙個係數ei，eiq必須被r整除。
r和q既然互質，ei必須被r整除，這就是說r是g（x）h（x）的係數的公因子。根據預備定理Ⅰ，g（x）h（x）是本原多項式，於是r=±1，換句話說，我們證明了等於整數±q。
綜上所述，就證明了預備定理Ⅱ：f（x）可以分解成具有整數係數的多項式g1（x）=±qg（x）和h（x）的乘積。"%
3樓：白如冰
通俗地說，就是如果乙個整係數多項式可以分解為兩個有理係數多項式的乘積，從可以把有理係數分子分母的公因子提出來，寫成兩個整係數多項式相乘再乘以乙個有理數的形式。
然後利用整數的唯一分解性，這個有理係數就是個整數。
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