1樓：Xigmatau
這是乙個很經典的多項式，許多數學家都研究過它的性質。其在有理域上不可約性的證明方法有很多，如Newton polygon、Schur定理、Bertrand-Chebyshev定理[1]、Kummer定理、Galois群等等
方程在上無重根注意到 由輾轉相除法可得： 故方程 無重根
該性質出現在了北大王萼芳高代講義的第一章第三節習題20
第一章第三節習題20
北大版高等代數第四版
高等代數輔導與習題解答北大第四版王萼芳課後習題答案解析
提取碼：1234
方程無有理根首先證明乙個引理：
取 ，其中
由Legendre定理得
故 ，引理得證！
我們假設 ，取 ，其中 且 ，則有：
，故 ，
設 為 的素因子，由等式*可得 ，即 ，也即 ，於是
設 ，由 和引理可得
由等式*可知
矛盾！故方程 沒有有理根
注意：無有理根和在有理域上不可約並不等價
感謝 @WYXkk
@乙個普通人 的指正！
對於 的情形無初等證明，但當 時，有如下證明方法：
設 為素數 ，即
要證 在 上不可約，即證 在 上不可約
在多項式 中， ， ，且每乙個 都含有因子 ，則有：
由Eisenstein判別法可知 在 上不可約
故 在 上不可約
Issai Schur[2]在2023年證明過 對於所有 都不可約，2023年證明了 對於所有 都不可約
Laguerre多項式[3]
廣義Laguerre多項式
有理域 上的Laguerre多項式 的 群為：
Generalizations of some irreducibility results by Schur
同樣有：
指數函式 的泰勒多項式 的 群為：
事實上，我們可以通過牛頓多邊形得到上述結論
我們固定乙個素數 ，計算出多項式 關於 的牛頓多邊形
設 ，考慮 進製數域下的
，則有其中 表示 在 進製表示下的數字和
則對於 ， 的牛頓多邊形頂點為 和 ，其中 ，其對應的斜率
令 ，其中 是 的根， 是 上的不可約多項式
記 ，則有 ，即
因此 ，即
故 在 上不可約
#式的證明如下：
記 ，首先證明 即證 即證 結合 的 進製表示可知其成立，則有
Newton polygon相關：
On the Galois Groups of the Exponential Taylor Polynomials
Newton polygons
Newton polygons and Galois groups我們還有更為一般的結論：
：對於 ，
在 上不可約
詳見下：
Schur Theorem
2樓：gfzhang
已經有人貼了schur的解答，但我還是來提提我的想法吧。
在開始證明前，我想先看幾個例子。這時，我假設你知道除了 以外，對於任意素數 ，都有區域性域 。設 。
根據牛頓多邊形的理論，我們可以從 的係數的 進賦值讀出 在 裡的分解（至少，部分資訊）。下面舉幾個例子
例子2： , 在 中的分解的型為(2,4)，即為乙個四次不可約的多項式乘乙個不可約二次多項式。這至少說明了在 中的不可約因子的次數會被2整除。
另一方面， 在中分解的型為(3,3)或者(6)，這至少說明了在 中的不可約因子的次數會被3整除。結合在兩個區域性考察得到的資訊，在 中的不可約因子的次數會被6整除，這說明了 在 中也不可約。
我們可以照搬例子2的辦法，只要你知道區域性域 上牛頓多邊形的理論，以及你會算的牛頓多邊形。因為時間關係，我沒有詳細的把證明寫下來。
3樓：
經典古老的問題，證明有幾個，最簡單的證明大概是https://
kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/schurtheorem.pdf
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