實係數多項式之所有根為實數，如何證明其相應n階導數之所有根為實數？

1樓：KYUUSYOU SAMA

首先在沒有重根的點可以直接用羅爾定律，在此時原函式兩個零點之間必存在導函式為零的點。

而有的點有重根的話，將原多項式寫作

f（x）＝（x-x1）∧k×g（x）

其中x1為其k次重根，此時求導後能發現導數為f（x）＝（x－x1）∧（k－1）×h（x）說明在x1點導函式重根至少有k-1個這樣就可以得出，求一階導後，原函式所有重根有ω種，之間產生的導函式為零的點有ω－1，且有∑ki＝n（i從1到ω），所以導函式所有根至少有ω－1＋∑（ki－1）＝n－1

而求導後最多實數根的個數就是n－1，所以可以得出求導後實數根為n－1個，由數學歸納法可得出任意階導數的結論

2樓：PV等於NTR

不請自來。

另一位答主說的已經很好了，不過我這個門外漢最近看到了一點相關的東西所以也來分享一下。

補一下不怎麼嚴謹的做法（咱不是數學系的），若有好的做法懇請各位指教。

3樓：dhchen

這樣的形式,求導之後可以發現依然分別是多項式的重根，又因為，（根據羅爾定理）在開區間中至少存在乙個點使得，類似的我們可以在開區間中找到乙個的根 . 總共是個實數根，於是我們發現至少有個實數根，因為是次多項式，那麼這些實根就是它的全部的根。