1樓：格羅卜學數學
是的.
不過這個問題要直接用這個定義證明是很費力的, 需要用到代數元的等價定義.
[代數元]為域擴張. 稱 在 上代數, 如果滿足以下的等價條件:
存在乙個多項式 是 的根;
為有限維 -空間;
存在有限維 -空間 , 滿足 並且 .
[證明]顯然;
顯然.考慮 , , 由Hamilton-Cayley定理,化零多項式
由於 , , 故
[代數數]稱 是代數數, 如果 在 上代數.
然後會用到代數擴張的概念.
[代數擴張]如果 為域擴張, 並且 中的元素在 上都是代數的. 那麼我們稱這是乙個代數擴張.
有限擴張必為代數擴張.
[證明]由代數元的等價定義(3).
為域擴張, 在 上代數, 則 為有限維 -向量空間.
[證明]作歸納. 在 上代數, 所以 為有限維 -向量空間.
在 上代數 在 上代數 為有限維 -向量空間 為有限維 -向量空間.
回到最初的問題.
如果 是方程 的根, 係數皆代數, 那麼 是有限擴張. 而 也是有限擴張, 因此 是有限擴張, 因此結論成立.
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