1樓：王爺
不一定處處連續處處不可導函式
在數學分析的發展歷史上，數學家們一直猜測：連續函式在其定義區間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續函式的不可導點至多是可列集。
當時，由於函式的表示手段有限，而僅僅從初等函式或從分段初等函式表示的角度出發去考慮，這個猜想是正確的。
但是隨著級數理論的發展，函式表示的手段擴充套件了，數學家可以通過函式項級數來表示更廣泛的函式類。
Weierstrass（即卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯）是一位研究級數理論的大師，他於2023年利用函式項級數繼波爾察諾之後[1] 構造出了乙個處處連續而處處不可導的函式，為上述猜測做了乙個否定的終結（公式如下）
Weierstrass的反例構造出來後，在數學界引起極大的震動，因為對於這類函式，傳統的數學方法已無能為力，這使得經典數學陷入又一次危機。但是反過來危機的產生又促使數學家們去思索新的方法對這類函式進行研究，從而促成了一門新的學科「分形幾何」的產生。所謂「分形」，就是指幾何上的一種「形」，它的區域性與整體按某種方式具有相似性。
「形」的這種性質又稱為「自相似性」。
我們知道，經典幾何學研究的物件是規則而光滑的幾何圖形，但是自然界存在著許多不規則不光滑的幾何圖形，它們都具有上面所述的「自相似性」。如雲彩的邊界；山峰的輪廓；奇形怪狀的海岸線；蜿蜒曲折的河流；材料的無規則裂縫，等等。這些變化無窮的曲線，雖然處處連續，但可能處處不可導。
因此「分形幾何」自產生起，就得到了數學家們普遍的關注，很快就發展為一門有著廣泛應用前景的新的學科。
范德瓦爾登函式
可導的函式一定連續嗎？
軒軒 不一定，在一元函式中，可導函式必連續，但是在多元函式中，可導函式不一定連續，你只說的函式，所以並沒有指明一元還是多元函式。 於焉逍遙 因為從導數的定義語言可以證明出連續的極限形式，所以可導蘊含連續。0,exists delta 0,使得0 x x 0 delta 0時,有 eeimg 1 一路...
導函式存在原函式不是一定連續嗎？
王箏 開宗明義，我們管函式F叫函式f的原函式，意思就是F f。我想應該不會有微積分的書不這麼定義吧。那麼任何函式的原函式都連續，因為他可導。這是廢話。所以 可積函式的原函式連續 這句話的最大的問題就是，他是廢話。其次，難道不可積的函式的原函式還不一定連續嗎？當然了，確實有些不可積的函式存在原函式。再...
定義域上連續且可導的函式，其導函式一定連續嗎？
黎弗曼 連續且可導的函式，其導函式不一定連續，因為可導函式的導函式也可能含有振盪間斷點。比如下面這個常見的函式 1 eeimg 1 1 eeimg 1 可以看出，當n 2時，f x 的導函式f x 是連續的 當1可見，雖然大多數 可導函式 的導函式是 連續函式 但有些特殊的函式，比如某些原本含有振盪...