1樓：fduxiao
連續函式將緊集對映到緊集，如果要說「界」的問題，姑且認為codomain是度量空間，那麼緊集當且僅當complete(Cauchy數列收斂)且totally bounded(finite epsilon-net存在)，則顯然bounded. 實數軸是閉的，identity函式無界所以閉集上不一定有界。另外緊空間的閉子集是緊的，此時造成的有界性是緊性造成的。
2樓：寒江孤雁
另外還有幾點說明：
1. Heine-Borel 定理告訴我們在實數集上，緊集等價於閉集加上有界集，所以對於緊集成立的事情，換成閉集不一定成立。
2. 更廣義來講，對於metric space，緊集等價於complete加上totally bounded，這是對於Heine-Borel 定理的推廣。定義在緊集上的連續函式，其image也是緊集，故totally bounded.
而且totally bounded implies bounded，可見對於緊集來講，image under continuous functions is bounded 是乙個對於metric space通用的結論。
3. 從拓撲的角度，緊集是乙個絕對概念，而閉集是乙個相對概念，乙個拓撲空間是緊集，那麼不管把它看成是哪個更大的拓撲空間的subspace，它都是緊集。而閉集是乙個相對概念，當我們說閉集的時候，必須要涉及是哪個空間的閉集。
因為從大學開始數學都是用英文學的，有些詞不知道確切的中文翻譯，就直接寫英文了。
緊集上的連續函式，在次數不超過n的多項式空間內空間內是否有唯一的最佳逼近元？
dhchen 構造拉格蘭日多項式，這個多項式滿足 它構成 的一組基。我們可以發現對於任意多項式 我們設 構造泛函 對於 我們發現 換句話說，我們證明了 泛函在自然是連續的，而且集合 是乙個緊集，所以這個泛函有乙個在它上面有乙個最小值，這個最小值也是全域性的最小值。唯一性稍微麻煩點，鑑於你估計你不知道...
在歐幾里得空間內，怎麼證明有界閉集，緊集和列緊集等價？
大臉阿望 一 證明歐式空間下有界閉集是緊集 這裡主要需要引理 閉矩體套定理 設 是 上的閉矩體列，且 對任意正整數成立，那麼這個閉矩體列的交非空。這是閉區間套定理的高維推廣。這個定理是所需的前置知識，這裡就不證明了。證明 先證明歐氏空間下有界閉矩體是緊集。用反證法。設是歐式空間下的有界閉矩體。對它的...
連續函式為什麼考慮的是閉區間上的性質，而不去考慮開區間上的性質，或者說可以延拓到開區間上？
非平凡的理想 瀉藥如果f在閉區間 a,b 上連續，那麼肯定在 a,b 上有一系列性質，這都是繼承自閉區間的性質。我們可以把所有的在開區間連續，有界，有介值性的函式都看成這樣乙個模子 先看閉區間是不是成立，然後去掉端點。所以我們知道假設f在 a,b 上有性質P f 那麼在 a,b 上也有性質P f 但...