1樓：大臉阿望
一、證明歐式空間下有界閉集是緊集
這裡主要需要引理（閉矩體套定理）：設｛ ｝是 上的閉矩體列，且 對任意正整數成立，那麼這個閉矩體列的交非空。這是閉區間套定理的高維推廣。
這個定理是所需的前置知識，這裡就不證明了。
證明：先證明歐氏空間下有界閉矩體是緊集。用反證法。
設是歐式空間下的有界閉矩體。對它的開覆蓋，若不存在有限子覆蓋，將閉矩體每個分量的閉區間二等分，一共得到2的m次個小閉矩體，其中m是歐式空間的維數，其中必有乙個小的閉矩體不能被有限覆蓋，記為.重複這個過程即能得到一組滿足的閉矩體列｛｝，並且不難發現閉矩體的每個分量的閉區間長度序列是乙個公比為1/2的等比數列，於是長度趨於0.
由引理，這個閉矩體列的交非空，於是存在x屬於所有的閉矩體。由於開覆蓋中必定存在開集包含x，而x是這個開集的內點，於是x的某個半徑為 的鄰域屬於這個開集，而由於閉矩體的每個分量的閉區間長度序列趨於0，故存在某個N，使得的各個分量的閉區間長度小於,則必屬於x的鄰域從而可被這個開集覆蓋，與的取法矛盾。
然後證明歐氏空間（事實上是任意拓撲空間）緊集的閉子集是緊集。設A是緊集，B是A的閉子集，對B的任意開覆蓋，加入B在歐氏空間的補集以後，就是A的開覆蓋，它有有限子覆蓋，若這個有限子覆蓋含B的補，就去掉它，然後就是B的有限子覆蓋，若不含B的補，那本身就是B的有限子覆蓋。
最後，對於歐氏空間有界閉集，它一定可以含於乙個有界閉矩體，從而可以看作乙個緊集的閉子集，於是是緊集。
二、證明歐式空間下緊集是列緊集
證明：設A是歐式空間中的緊集， 是A中的乙個序列。若對任意x屬於A，都可以找到x的某個鄰域（記為 ）只含有的有限項。
這些鄰域可以組成A的開覆蓋，但是由於每個鄰域都只含有有限多項，那麼不可能有有限覆蓋含有的全部項。於是存在乙個y屬於A，y的任意鄰域含有序列的無窮多項。
對於y的每乙個半徑為1/n的鄰域，可以取鄰域內含的序列中的一點，記作 ，於是取到子列 ，它收斂於y。
三、證明歐式空間下列緊集是有界閉集
證明：設A是歐式空間下的列緊集，先用反證法證明有界性。若無界，取定乙個>0.
隨意取一點為，記,然後取一點滿足，d_+\delta" eeimg="1"/>,記,重複這個步驟可以得到一點列，這個點列沒有極限點，矛盾。若A不是閉集，那麼存在A的極限點y不屬於A，由於歐式空間序列極限的唯一性，收斂到y的，A的點列在A中無極限點，矛盾。從而A是閉集。
可以看到，用這樣的迴圈法證明歐式空間下三者的等價性並不難。但是歐式空間這個條件還是太好了，我們看到，證明中我們基本上只使用了「閉矩體套定理」（這個定理必須由實數的完備性匯出），「假設閉矩體」，「對分量的閉區間進行二分」這三個需要歐氏空間這個結構的操作，而其他部分的證明都是對於一般的度量空間沒有區別的。實際上，只針對一般的度量空間而言，緊空間和列緊空間等價，並且緊（列緊）集是有界閉集，但有界閉集不一定是緊（列緊）集。
其中緊度量空間是列緊度量空間證明和二無異，而度量空間的緊（列緊）集是有界閉集的證明和三無異，只是要補充列緊度量空間是緊度量空間的證明，這個證明比較繁瑣，推薦rudin《數學分析原理》第二章習題第22到26，裡面的提示可以一步步引導你證明，或是看尤承業《基礎拓撲學講義》裡面有完整的證明，這兩本書的證明不大一樣。當然，度量空間也還是太特殊了，如果深入學習拓撲學，你能得到一些更加一般性的內容。
什麼是 四維空間（標準歐幾里得空間） ，如何通俗的理解？它與 四維時空 有何聯絡與不同？
風語微瀾 通俗來說 空間 4維流形，如果不知道什麼是流形，那就當做線性空間R 4理解好了，線性代數總學過吧 歐幾里得空間和閔可夫斯基空間的區別 定義的度規不同。什麼是度規？流形上的 0,2 型張量場，把兩個向量對映成乙個數。什麼是向量？向量也是乙個對映，把場函式對映成乙個數。什麼是場函式？流形上某一...
什麼是歐幾里得空間？與笛卡爾座標系有什麼關係？
小哲123 在複習線代，說一下自己的想法，歐幾里得空間就是基向量為n個相互垂直的單位向量 也就是正交矩陣 的線性空間，與笛卡爾座標系的關係的話，應該是歐幾里得空間包括笛卡爾座標系 楓亦 其實這個巧合真的很驚人，內積為零則垂直正交，為什麼有這麼好的性質？如果沒有二維和三維的歐式幾何直觀，內積的定義也僅...
上帝能否在創造乙個空間之前進入這個空間？
森 賤太郎 上帝在未創造的時候時間和空間都不存在，也就不存在在創造之前的問題了，因為之前和之後是時間問題，時間不存在的時候不存在時間問題。因此在創造空間之前進入某乙個空間是乙個偽命題 李聞昔 是這樣的，這個問題看起來好像跟上帝能不能創造一塊他不能舉起來的石頭是類似的，其實並不一樣。石頭悖論其實是乙個...