1樓：瓦曉得
偶然刷到這個老問題，我剛好可以補充一點大概沒有被提過的資訊：
線性空間一般定義在域上的原因，一句話總結，如某位答主說的，就是如果是關於某個域的話，可以得到很多很好的性質。
線性空間定義、子空間、商空間、線性對映、線性相關/無關、基、維度、有限維線性空間之間的線性對映的矩陣表示、行列式、特徵值特徵向量向量與對角化、Jordan-標準型...
事實上線性空間定義、子空間、商空間、線性對映、線性相關/無關都可以沒有任何問題地關於某個環來定義，得到的就會是模論的相關基礎概念。
但從基(線性無關的生成集合)這玩意兒開始就需要更多性質了，因為：任意 -模都有基，當且僅當 是乙個除環。證明在這裡先略吧。
維度、矩陣表示都依賴於基的存在，因此可以說，要想「一定有基」、「一定有維度這概念」、「一定有矩陣表示」，那麼至少就需要乙個除環來定義線性空間。
另外，行列式根據（其中乙個）定義是唯一的乙個從 對映到 的多線性、交替、範化(multi-linear, alternating, nominated)對映。如果 不是交換環，那多線性就無從談起... 因此，若想行列式在每個有限維線性空間的線性對映上都定義，那就需要 為可交換環。
綜上，不嚴謹地說：「想一直有基&矩陣表示，就起碼需要除環；想一直有行列式，就起碼需要交換環。都一直想要，就起碼需要域」。
2樓：星君大人
非零交換麼環上都可以，因為乙個非零交換麼環一定可以通過同態對映到乙個分式環上，定義相應的乘法並使乙個Abel加法群構成這個分式環的模就可以了
3樓：陳磊
我當時也遇到過這個問題，後來我這樣想的，如果不定義在域上，那麼線性空間裡的第6條定義「對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).」，將不合法
4樓：
只有在域上定義，才能保持我們所需要的關於線性空間的各種好的性質。
for example: Every vector space has a basis, but not every Z-module
怎麼解釋 數域p上n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n 維？
我的直觀理解是這樣的。因為每個n維的線性變換 T V to V 與其表示矩陣 M 維度為 n times n 都是一一對應的。可以證明V裡的所有線性變換組成的線性空間與所有 n times n 的矩陣是同構的。這樣結論就很明顯了。具體證明可以參考Axler的Linear Algebra Done R...
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Bingyan Liu 2 28日更新 已完成習題時間中所有命題的證明，算是給二月份乙個交代.為王箏老師留做習題的部分補充證明.首先重述一下超濾子的定義 定義一集合 上的濾子 filter 是指 的子集族 滿足 1.非空 2.不是 的子集全體 3.有限交封閉 4.上閉 定義二集合 上的超濾子 ult...