1樓：fredorfled
知乎上回答問題的水平真的堪憂，人家問的是提出對偶問題的數學直覺，這是乙個比什麼是對偶問題大得多和深刻得多的問題。回答全是對偶問題是什麼也是醉了。
2樓：蘇劍林
從Wasserstein距離、對偶理論到WGAN - 科學空間|Scientific Spaces
也許這部分內容會有一定的參考價值
3樓：Sixiang
對偶理論非常（X3）有用，這不是簡單幾句話能概括清楚的。學懂了對偶理論，相當於給你開啟了優化領域中一扇大門，帶你走向一片更廣闊的空間... 在優化領域的研究中，很多經典演算法，或者是學術上的重大突破都離不開對偶理論。
演算法上，比如說， Benders decomposition 演算法通過把原問題轉化為對偶問題並返回主問題（master problem）的約束，通過不斷迭代減小主問題可行域的方式來逼近最優解；Lagrangian decomposition 演算法通過對偶理論確定原問題的上下界，再通過迭代的方式縮小上下界逼近最優值。
問題上，目前優化領域特別火的魯棒優化（robust optimization），就大量地應用了對偶理論，把複雜的問題（semi-infinite programming）轉化為凸規劃問題。
建議：在學習對偶問題的時候，建議學習用拉格朗日乘數的方法將原問題轉化為對偶問題，這個技能非常有用，學懂後終生不忘，比直接背結論有用多了。
4樓：starrynight
說乙個比較現實的問題吧。
如果你想用Matlab求解線性規劃問題，Matlab的求解必須是Min的目標函式。
如果你想要求解的問題是Max的，你就必須要轉換為其對偶問題然後用Matlab求解。
5樓：陳知意
作為乙個剛剛開始接觸運籌學這個領域的小白來談談我的感受：以linear optimization problem為例
我覺得Duality Theory就是能幫助你構造乙個primal problem的等價形式。比如大規模問題，dual problem就是將primal problem的難度從未知數個數轉化到約束數。當然，樓上所提到的尋找primal problem的乙個feasible solution也是乙個用途。
從線性規劃問題上來說，這種轉化形式能讓我們對同乙個問題有不同的實際意義的理解，也能多給出一種表示形式以便進一步推導吧。
6樓：KyleYoung
在研究單純形演算法的時候自然要涉及到對偶問題,通過線性規劃問題的強對偶性來說明單純形演算法的正確性.
還有,一些可以表述為線性規劃的實際問題之間也有著對偶關係,比如網路流中的最大流與最小割,二分圖最大權匹配以及最小頂標和.
個人認為如果轉化為對偶問題只是有可能簡化問題的求解的話,它在理論上就沒有那麼大的研究價值了.
7樓：留德華叫獸
大家的回答不錯，解原問題比對偶問題複雜的時候，就可以解對偶問題，因為他們的解是等價的。
我再提供乙個解對偶問題的直觀應用吧。
比如解大規模線性或者整數規劃的時候，時常要用到列生成或者Benders decomposition方法，這時候把原文題分解成乙個個的小問題，還有乙個sub問題，往往這個做迭代的sub問題，便是原問題的子問題的乙個對偶問題，才能保證decomposition以後的迭代得到的解，和原問題是等價的。
具體可以看我在下面的回答
如何理解benders decomposition在混合整數規劃中的應用？
[運籌帷幄]大資料和人工智慧時代下的運籌學 - 知乎專欄
8樓：
理由多得很，但只舉乙個非常有意義的。
當原線性規劃有指數多個variables和有多項式個constrains的時候，一般是無法在多項式時間內解決這個線性規劃的（哪怕不是整數線性規劃，只是一般線性規劃）。但是，通過將原線性規劃化為其對偶線性規劃。其對偶線性規劃就會擁有多項式個variables，卻有指數多個constrains。
這個時候！如果存在著separation oracle，那麼我們就可以通過ellipsoid algorithm在多項式時間內解決對偶線性規劃，同時根據duality，就得到了原線性規劃的optimal解。
9樓：Valerie Deng
線性規劃裡，每個原始線性規劃問題都有相應的另乙個線性規劃問題——對偶問題，而對偶的對偶又是原始問題自己。
對偶問題的解是和原始問題的解相對應，解出了乙個問題答案的話，就知道了另乙個問題的答案。而很多時候，對偶問題的計算可能更加方便（比如約束較少，或者數字簡單等情況），這樣我們只要求解對偶問題就可以了。
也可以利用對偶問題的解來核對原始問題的答案，很好用的~
10樓：
Insight：乙個閉凸集合可以表示為所有包含它的閉半空間的交集
對偶的手段可以奇妙的 「exploit the convexity」
11樓：老樓
線性規劃中，如果原始問題約束條件多，決策變數少，轉換為對偶問題約束變少了，更好求解。
在凸規劃中，直接求原問題可能會更困難。
求線性規劃最優解時，為什麼要使非基變數為0？
Alston 如果標準線性規劃問題有最優解，則必有最優基本容許解，下面給出代數證明。幾何上說，基本容許解是凸集合的極點。乙個基定下來了，基本容許解是唯一的，所以線性規劃問題可以變成尋找最優基，這個過程只需要不停地移出換入基向量就行，這是最優性判斷的部分，不贅述。下證開頭的定理。設x是最優解，不妨令x...
為什麼父母總是不考慮我們孩子的感受？
倪振源 每個人都希望自己的感受和想法可以被父母傾聽或者尊重，而且這對乙個人的身心發展也很重要。長期忽視或者侵犯孩子的感受，會導致孩子發展的問題以及社會適應問題，通常表現在情緒調節，自尊調節，以及人際交往上。可惜的是，很多父母由於他們自己沒有被他們的父母所傾聽和尊重，他們自然也沒有學會照顧到孩子的感受...
別人不考慮你的感受你為什麼要考慮別人的感受？而且這麼做討好不了任何人？
俗話說熱臉不貼冷屁股。這個想法很正常啊！我就想問一下樓上有些非要考慮別人感受，還要說服題主去感受的人，你們是不是有人格障礙？別人說什麼問什麼，你都要反對？中國有一大群這樣的病友 小寶plus 如果他不考慮我，我也不用考慮他，敬而遠之。跟氣場不合的人，從來不多呆，除非沒辦法。考慮別人的感受，並不是 討...