1樓：Bingyan Liu
2/28日更新
已完成習題時間中所有命題的證明，算是給二月份乙個交代.
為王箏老師留做習題的部分補充證明.
首先重述一下超濾子的定義
定義一集合 上的濾子(filter)是指 的子集族 ，滿足：
1. （ 非空）
2. （ 不是 的子集全體）
3. （有限交封閉）
4. （上閉）
定義二集合 上的超濾子(ultrafilter)是指極大的濾子.
命題一：對任意非空集合 ，超濾子存在.
集合 上濾子全體 作為乙個集族的集合是非空的，因為集族 是 上乙個濾子.
濾子全體 上按照集合的包含關係 構成乙個有序集 ，取 的全序子集
斷言： 關於序 有上界.
證明：構造
首先證明是濾子：
因為定義是濾子的並從而適合定義的前兩條；任取 中兩個集合 ，則存在濾子,由於 是全序的，不妨設 ,則有 ，從而由 適合濾子定義第三條， 適合濾子定義第三條；類似的可以證明 適合濾子定義第四條. 從而 是濾子，即 .
然後是 的上界,因為按 的定義，有 .
即 的任何全序子集都有上界，從而由Zorn引理極大元存在，即超濾子存在.
命題二：對任意 的子集 ，任意超濾子 ，集合 和 有且只有乙個屬於 .
唯一性：若超濾子 同時包含集合 和 ，則由濾子定義的第三條有 包含他們的交集即空集合，這與第二條矛盾，從而超濾子 最多包含集合 和 其中之一.
存在性：設 同時不包含集合 和 .
記 ,則 是包含非空集合 的最小濾子.
再令 ，則斷言 是濾子
首先 適合濾子定義的前兩條，不贅述.
任取,存在 ,使得 ,從而 . 適合濾子定義第三條.
任取 存在 ,則 ,適合濾子定義第四條.
從而 是濾子, 由於包含 與 ,嚴格比 大，這與 是超濾子矛盾，從而集合 和 有乙個屬於 .
綜上所述，命題得證.
定義三：對實數列 ，稱 存在並且，如果 0, \\in\mathscr F" eeimg="1"/>
命題三： 若存在則唯一，並且滿足與通常極限相似的四則運算法則.
注：這裡定義了一種新的對數列的運算，記作 ,從定義和記號中都可以看到這個運算是對濾子 而言的（可以不是超濾子），不同的濾子可以給出不同的 .
證明：唯一性：如果極限存在且不唯一，不妨設為 和 ,則取 ,由定義集合
, 從而 ,但 與濾子定義矛盾.
（乙個沒有做好的地方，下面用 表示實數，不表示集合.)
保加法：設 , ,注意到
故由濾子的上閉性得到 ，按定義 .
保乘法：設 , ，注意到 , 上式中右面的集合自然在濾子中，著重考慮 .
取 ，有 ,從而由濾子上閉，左邊的集合也在濾子中. 注意到 ,則由濾子有限交封閉，上式中左邊的集合在濾子中，按定義
命題四：若 是 的餘集有限的子集全體，則 是濾子（但不是超濾子），並且 極限存在當且僅當 存在，此時 .
注意到 N, |a_n-A|<\varepsilon \Leftrightarrow \mathbb^+ \backslash \ finite" eeimg="1"/>
命題五：對任意 上的超濾子 ，有界數列 ， 存在
這裡先斷言
引理：設集合 且 ， 為超濾子，則 或 .
注：可以看到這個引理和超濾子的第二條性質很像，證明方法也是一樣的.
從而反證，假設數列 不存在濾子極限，則對任意的 ， ,由數列有界 ，對每個 存在 ,
故 構成 的開覆蓋.
由有限覆蓋定理，存在有限個 使得 ,
但又有由引理可得至少存在乙個 使得 ,這是乙個矛盾.從而極限存在.
命題六：對任意 上的超濾子 ，定義 ，則 是 上的有界線性泛函，並且 是 的聚點.
證明：如前所證， 在有界數列全體 上有定義，且 是加法同態，可以證明 實際上是線性的，這樣就給出了乙個 上的線性泛函，由濾子極限的定義可得極限值不會超過數列的界，從而泛函 的範數不超過1，因此 是有界線性泛函. 進一步，若 ，則 在濾子中，這表明其不是空集，因此在 的任意鄰域內都有 中元素，故 是聚點.
這樣就完成了證明.
因為最開始不知道mathscr這個指令， 都誤打成了 ,其含義是一樣的，不逐個修改了
關於 這裡我稍微有些心虛，如有錯誤請大家批評指正
2樓：dhchen
首先，有極限的數列本身構成乙個空間 ，它是 的閉子空間。在空間 上古典的求極限是乙個有界線性泛函 ，那麼根據Hahn-Banach定理我們可以找到 在 上的乙個延拓 使得
.而且 。
也就是它確實是有界線性泛函，然後這個泛函不依賴於有限項的改變，如果 只有有限個項不相同，那麼
而且極限為0，於是我們有
。由於這個定理用到了Hahn-Banah注定了這是非構造性。你隨便給乙個有界數列，你很難算出 是多少。
3樓：王箏
退而求其次的用Hahn-Banach定理一步就出來了，不贅述了。
而原本的問題，我們來引入超濾子極限(ultrafilter limit)的概念：
定義集合 上的濾子(filter)是指 的子集族 ，滿足：
（ 非空）
（ 不是 的子集全體）
（有限交封閉）
（上閉）
定義集合 上的超濾子(ultrafilter)是指極大的濾子.
以下取 . 下面是習題時間，應該只需要數學分析和一點集合論和點集拓撲的知識：
利用Zorn引理證明超濾子的存在性. （事實上這嚴格弱於選擇公理）
證明，對任意 的子集 ，任意超濾子 ，集合 和 有且只有乙個屬於 .
對實數列 ，稱 存在並且，如果 0, \\in\mathscr F" eeimg="1"/>
證明， 若存在則唯一，並且滿足與通常極限相似的四則運算法則.
證明，若 是 的餘集有限的子集全體，則 是濾子（但不是超濾子），並且 極限存在當且僅當 存在，此時 .
另舉乙個例子，取 ，證明這是乙個超濾子，並且 .
證明，對任意 上的超濾子 ，任意有界數列 ， 存在.
證明，對任意 上的超濾子 ，假設這不是5中的超濾子中的任何乙個，這等價於 包含4中的 . 定義 ，證明 是 上的有界線性泛函，並且 是 的聚點.
ultrafilter limit也可以看成是通常極限的推廣，與Banach limit相同，這對所有有界數列都可以定義，但由於ultrafilter的存在性是非構造的，這個極限的具體數值也是非構造的. 而不同點在於，這個極限並不是平移不變的，以及Banach limit只滿足線性，但ultrafilter limit與包括乘法在內的連續的運算都可以交換. 並且ultrafilter limit的存在性可以推出Banach limit的存在性.
另外，如果讀者對拓撲比較熟悉的話，可能會知道Stone-Cech緊化這個概念。可以證明ultrafilter和Stone-Cech緊化之間是一一對應的，並且上面命題5給出了原來的集合到Stone-Cech緊化的嵌入。如果從運算元代數的角度來理解的話，Stone-Cech緊化就是 上面的全體可乘線性泛函裝備弱拓撲，而ultrafilter limit自然是這樣的泛函，反過來也是容易的.
ref:
Generalisations of the limit functional
數列 tan n n 有界嗎
PPDM 首先 分別取 為 除以 的餘數。將生成的各個 用其 作為序號。假設1 在 時 在 內趨於均勻。即對 內的任意開子區間 捕獲 的比例趨於相同。假設2 對 內不同 的任意開子區間 各區間捕獲最小序號將隨著 而趨於隨機。直覺上有理由相信是對的，由於任何有限的序號都將隨著 減小而被排除在區間以外，...
數列極限的有界性為什麼不是區域性有界性？難道區域性強調的是連續嗎？
HMKenny 三兩句話足以 1.如果是函式極限你要考慮這種情況 x趨0時，f x 趨向無窮大 比如1 X x趨3時，f x 趨向9 比如x 2 這兩個函式拼接成乙個函式就是 瞎編的函式拼接，但是差不多是這種函式 在x 3處區域性肯定是有界的，但是其他地方就不能保證有界了，比如原點。2.如果是數列極...
為什麼數列收斂一定有界。？
林笑笑 簡單說一說，從直觀的角度入手，有問題請指出。雖然有答主已經將證明過程給寫了出來，但很多人仍然難以理解。在我看來，其原因在於沒有弄清楚開鄰域這個概念。如果結合一下開鄰域的定義，應該就可以弄明白了。對於乙個極限為實數a的數列而言，根據定義可知，對於a的任意開鄰域U外邊至多含數列的有限多項。注意，...