1樓：PPDM
首先 分別取 。為 除以 的餘數。將生成的各個 用其 作為序號。
假設1:在 時 在 內趨於均勻。即對 內的任意開子區間 捕獲 的比例趨於相同。
假設2:對 內不同 的任意開子區間 ，各區間捕獲最小序號將隨著 而趨於隨機。（直覺上有理由相信是對的，由於任何有限的序號都將隨著 減小而被排除在區間以外，所以對足夠小的區間們而言，都是在嗷嗷待哺新的偽隨機餘數）
暫不知道這偽隨機性質的假設如何證明，但如果假設都ok，則可以開始推導
忽略掉 ，僅從 附近考慮。由於 沒有同時n,k為正整數的解，所以 永遠取不到 ，即數列中不會有無定義的項。
考慮開區間
基於假設1，對 0" eeimg="1"/>有
其中當 時，
基於假設2，則當 時，有
即第一次落入 的序號的期望是 。且落入的位置均勻。（注: 的增長要求比 的縮小更快，以保證樣本足夠多，顯現出假設中的隨機性，即需滿足 ）
考慮有界性只用考慮對任意 最小的那個序號，且由於無限數列本是不斷出現的，性質幾乎等同重複實驗，應可以用期望模擬。
所以對於變化中的任意 ,
由最序號對應的餘數在區間內均勻分布，可用積分求期望，即上式
再將 積出來，並整理一下，可以得到上式結果為
會發現這時的其散斂性是和 相對於 的收斂速度是有關的。如果考察 的意義，可見其只是乙個用於計算反常積分的輔助變數，於是對任意確定的 而言， 都應是無窮小，
於是可令 其中 進一步(之後要用)滿足 \varepsilon^,k \to + \infty" eeimg="1"/>。
於是代入 進一步化簡可得：
當 ，顯然趨於正無窮大，可以估計 無界
當 ，分母為 1，上方正無窮大，可以估計 無界
當 1" eeimg="1"/>,上下都趨於正無窮大，可以洛比達進一步化簡
整理一下
由 \varepsilon^,k \to + \infty" eeimg="1"/>，所以上式
即可得到對任意確定的 而言，上式都趨於正無窮大。即 無界
所以按這種偽隨機統計的方法來看，數列總無界，且不存在 能使其有界
2樓：曉正不碰會死星人
令n＝x，對於x＝π/2+kπ（k屬於Z）以及∞處求極限。
注意，上面那個步驟是把離散元化成連續元。
我覺得x＝π/2＋kπ可以省略掉。
因為它雖然極限為∞，但是，與自然數集不重合。
所以，只需要考慮＋∞就行了。洛必達法則分分鐘搞定。因為我把離散元化成了連續元。
3樓：廖原
有乙個弱化版的結論
第二個回答
沒仔細想，但稠密性應該可以得出倒數之間的無理測度是一樣的，然後pi的無理測度確實是open problem，如果是2的話整個argument就不成立了
我記得數論課上有道習題就是用連分數證明有無數多個 tan(n)/n 大於乙個值但那個證明依賴於pi/2 的值， 和這個證明很像:
Ira Rosenholtz
（說不定你換一下係數(q*pi 同樣超越)可以證明這個問題？）
當然後面一半問題的argument就是 tan(n)/sqrt(n)是無界的， tan(n)/n^8 有界（已知Mahler那個著名的結論）所以單調性告訴我們這個實數確實存在，而上面的回答告訴我們無理測度就是這個值
(兩年前的話我肯定會對這個問題很感興趣吧TAT，現在的我：pde好難，數論是什麼？)
4樓：CC-ss
同樣，我也沒徹底解決這個問題，但我可以提供乙個思路。
首先，我們有如下引理：
引理：
（ Hint: 對 的 Weierstrass無窮乘積取對數導數即可證明。）
於是，對給定的 , 我們有：
記 , 不難驗證我們有：
當 時，
當 時，
因此我們可以考慮將 式中的求和分成三個部分：
而且，根據上面的估計，我們有：
換言之，我們有如下命題：
命題：對任意自然數 , 記 , 並記：
則 .根據上面這個命題，我們有：
推論：數列 的有界性，等價於數列
的有界性。其中， .
接下來應該就是超越數論的內容了。這等價於回答下面這個問題：
如果我們希望 和離其最近的整數之差不超過 的話， 至少需要多大？
感覺上， 的超越性應該蘊含著，當 很小的時候， 是不可能和某個整數離的很近的。反之，當它和某個整數離得非常近的話， 應該會很大。
目光回到 式。當 的絕對值很小的時候，意味著 離 很近，於是 會很大，此時 是乙個絕對值很大的負數（因為它的分母很小），而 則是乙個很大的正數（因為 很大。這可以證明。
）二者能否抵消，便成了 是否有界的關鍵。類似的的，當 很小的時候，意味著 離 很近，那麼相應的， 也會很大，從而第一項的絕對值也會很大。同樣，二者能否抵消便是關鍵所在。
但很抱歉，我對超越數論等內容並不熟悉，所以沒法繼續做下去了。如果想順著這個思路做下去，就是要回答我剛剛提出的問題...
5樓：答疑貓
首先，並沒有解決這道題，我給一些我的思路：
應該是用到 的無理測度
利用 的超越性質，知道 ,能得到無限個正整數 滿足：,不好處理的一點是如何考慮 為奇數的情形,如果證明出 為奇數時滿足此式子的 為無限個， 是發散的就很容易處理了。
單單知道無限個 滿足 是有可能收斂的，因為 在分母的位置，如果 為偶數，那麼 的值是在 左右波動的，這似乎變得很難處理。
ps:有點像是未解之謎的趕腳
數列極限的有界性為什麼不是區域性有界性？難道區域性強調的是連續嗎？
HMKenny 三兩句話足以 1.如果是函式極限你要考慮這種情況 x趨0時，f x 趨向無窮大 比如1 X x趨3時，f x 趨向9 比如x 2 這兩個函式拼接成乙個函式就是 瞎編的函式拼接，但是差不多是這種函式 在x 3處區域性肯定是有界的，但是其他地方就不能保證有界了，比如原點。2.如果是數列極...
為什麼數列收斂一定有界。？
林笑笑 簡單說一說，從直觀的角度入手，有問題請指出。雖然有答主已經將證明過程給寫了出來，但很多人仍然難以理解。在我看來，其原因在於沒有弄清楚開鄰域這個概念。如果結合一下開鄰域的定義，應該就可以弄明白了。對於乙個極限為實數a的數列而言，根據定義可知，對於a的任意開鄰域U外邊至多含數列的有限多項。注意，...
如何證明 Xn 這個數列有界？
博博博博博 這類題有這樣的幾何解釋，蛛網工作法，解釋了為什麼要這樣放是可以找到上界的，也是不動點理論。對於分子列的單調有界也是可以這樣做的 shujn 看了其他答主的答案，我來提供乙個較為常規的思路。思路分析 從 這個遞推關係入手，首先想到如果 是乙個壓縮映象，那麼就可以通過尋找不動點的方式來論證序...