1樓：
1.有界數列不一定收斂。
2.單調有界數列必收斂。
3.單調有界數列必有極限。
4.收斂數列的極限必唯一。
5.收斂數列必有界。無界數列必發散。
2樓：黃六都
前兩天剛好給乙個小可愛歸納講了一下所以也想在這裡整理一次說錯請指正
根據題主的問題我預設你清晰對數列的定義
接下來是正式回答：
首先數列有極限就是數列收斂的乙個自然延伸概念：我們常常會說，數列收斂到 ，也就是說數列收斂到（極限）
數列有界 數列收斂 （數列有極限）
舉例：這個數列的奇數項都等於1，偶數項都等於0. 顯然 ， 該數列有界。但是它並不收斂，因為如果猜想它收斂的話，我們可以提出這樣的問題：
這個數列究竟是收斂到1，還是收斂到0？ 我們知道根據定義只能收斂到乙個點，這樣一來就產生了矛盾
數列收斂（數列有極限）數列有界
直觀地：假如這個收斂數列無界，那這個數列就跑到天下或地下去了，怎麼還會收斂呢?
嚴格地，根據定義容易證明得出：
因為 收斂，根據定義， 使得對所有 N" eeimg="1"/>， 成立 ，得出
令 ，對於所有的 , 有 ，即 有界。
3樓：歡快的拔糞青年
某乙個數列（Xn）當n趨於無窮大時有極限a即是該數列收斂於a，而根據定理，數列收斂則其極限唯一。
收斂的數列必有界，只要滿足當n趨於無窮大時|Xn|≤M即可，這個M可以是無窮多個，你可以把極限a理解成是M的一種情況
4樓：異世界的染色體
這個很簡單，對於數列而不是一般函式來說
1.由於數列的任意前N項（N為任意確定的自然數）都是有最大值和最小值的，所以判斷數列是否有界，是否收斂，是否有極限都是針對n趨向於無窮大才有研究價值的
2.有極限的定義是n趨向於無窮大的過程中an和某個特定值a之間的差是無窮小量，所以有極限一定是收斂而且肯定是有界的（界不一定是極限值a）
3.收斂的意思就是極限存在或者說極限存在而且不為無窮大，所以數列在這一點上是和有極限（狹義極限）相同的
4.有界是指所有的數列值an都落在某個確定的區間內，由於前面說過任意前N項都是有限的，所以還是只要極限存在就一定有界
5.但是反過來說有界不一定有極限，比如擺動數列
6.總結，由於數列是特殊的函式，所以對他來說，有極限（狹義）等價於收斂。收斂是有界的充分不必要條件。
也就是說有極限和收斂對於數列來說是一樣的，有極限或者說收斂數列一定有界，但是有界數列不一定收斂或者說有極限。
如何證明 Xn 這個數列有界？
博博博博博 這類題有這樣的幾何解釋，蛛網工作法，解釋了為什麼要這樣放是可以找到上界的，也是不動點理論。對於分子列的單調有界也是可以這樣做的 shujn 看了其他答主的答案，我來提供乙個較為常規的思路。思路分析 從 這個遞推關係入手，首先想到如果 是乙個壓縮映象，那麼就可以通過尋找不動點的方式來論證序...
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