1樓：
用帶拉格朗日餘值的泰勒公式：f(x+1)=f(x和f(x-1)=f(x這兩個式子加上f(x)及其三階導數有界的條件和x的任意性即可證明。這應該是北師大的一道考研題，華東師大也考過。
2樓：齊昱
反設二階導無界，取點列xn趨於x0，x0是二階導的發散點。
Lim(f''xm-f''xn)/(xm-xn) 當m,n趨於無窮的時候是發散的。
這說明點列xn的三階導函式值發散，即三階導無界。矛盾。
以上只是大概，具體寫的話要嚴格的說明第二段為什麼是發散的，不過這個肯定不難了。
3樓：
看了下題目條件是在(0，∞)上，fx三階可導，函式有界M，三階導數有界N。
可以利用「連續不一定可導，可導一定連續」這句話，推斷f，f的一，二階導數都是連續的。
由拉格朗日定理，在(0，∞)上取兩個點x，y有fx－fy = f'ζ(x－y)，ζ屬於(x，y)，那麼f'ζ= (fx － fy)/(x－y) 小於等於 2M/(x-y)，按照這個思路應該能證出來。 但是我也並不確定。
回頭思考一下
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