1樓：趙易達
還記得初中學過的二次函式 嗎？
當 0" eeimg="1"/>時，開口向上，是「凹下去」的形狀（類似山谷）；
當 時，開口向下，是「凸出來」的形狀（類似山峰）。
把二階導看成二次函式的係數（其實對二次函式求二階導，得到的就是 ），
你就可以很直觀地記住：
二階導》0，開口向上，是凹的；二階導<0，開口向下，是凸的。
同時，也能很直觀地看出，
二階導》0，有極小值；二階導<0，有極大值。
反過來，根據開口朝向，可以直接判斷二階導是否大於0。比如在下圖中，把曲線拐彎的地方，想象成二次函式的拋物線，開口向上，就是 0" eeimg="1"/>，即此處二階導大於0。開口向下，就是 ，此處二階導小於0。
可能你感覺，我這是強行把二階導和二次函式扯上關係。非也！我並沒有生拉硬套。
我前面所說的，並不僅僅是一種關聯記憶的方法，二階導和二次函式在數學上是有關係的，類似一階導和一次函式的關係。
求函式 在某一點 處的二階導 ，實際上是在求什麼呢？
簡單點說：
把函式在很小的範圍內泰勒展開，可以忽略高次項，保留低次項，近似為二次函式。因此，求函式在某點的二階導，等價於求該近似函式在此點的二階導。也就是說，你求出的二階導，就是那個近似二次函式的二次項係數！
詳細點說：
把函式在點 處泰勒展開，有
我們知道，如果把函式在 附近很小的範圍內作泰勒展開，可以忽略高次項，保留低次項。
對上面這句話的簡單理解：當逐漸接近 時， 的絕對值會越來越小。只要 的絕對值小到一定程度，肯定會小於1。
絕對值小於1的數，有個性質，其高次冪會越來越趨近於0，比如 ； ； 。這樣 在n比較大時，會非常接近於0。分母上 也會很大，所以整體上n越大高次項越。
如果我們做乙個比較粗糙的近似，忽略3次及以上的項，保留低次項（其實在 較為接近 時，這個近似也足夠精確了，因為高次項非常接近於0，幾乎對最終的函式值沒影響），
原來的函式就可以近似為類似 的形式，如下
對上式兩邊求二階導可知，求 在 處的二階導，約等於求近似二次函式的二次項係數。
稍微總結一下：求一階導，得到了斜率，代表切線的傾斜程度；求二階導，得到了「彎曲率」，代表曲線的「彎曲程度」。
以上是個人的一點看法，沒在其他地方見過嚴格的推導，但看到過乙個公開課的教授確實是這樣用的(網易公開課)，不知是否嚴謹（但定性的結論應該沒問題），僅供參考。
關於二階導的理解，可以看看這兩個答案，結合本答案加深理解
為什麼函式的凹凸性可以用二次導判斷?
請問函式在某一點處的二階導數的幾何意義是什麼？ 之前聽人說是曲線在這一點的曲率，但是我感覺不太對啊？
另外，關於泰勒展開，可以看看這個答案的動畫
怎樣更好地理解並記憶泰勒展開式？
2樓：zoomen
二階導等於0，且三階導不等於0，是函式的拐點
二階導大於0，那麼一階導遞增，函式增長趨勢由慢變快（如果一階導大於0），故這個函式是凹的（由負變正的一階導，函式是下降再上公升，也是凹的）
二階導小於0，同理
函式有界，三階導有界，一階導和二階導有界嗎？怎麼證明？
用帶拉格朗日餘值的泰勒公式 f x 1 f x和f x 1 f x這兩個式子加上f x 及其三階導數有界的條件和x的任意性即可證明。這應該是北師大的一道考研題，華東師大也考過。 齊昱 反設二階導無界，取點列xn趨於x0，x0是二階導的發散點。Lim f xm f xn xm xn 當m,n趨於無窮的...
引數方程怎麼求的二階導？
學習使我快樂 這句話說對也不對，說錯也不錯 你要說它錯，可你要是這樣理解二階導數 一階的導數 x的導數,這是對的但你說它對，二階導數 一階的導數 x 的導數，這是錯的。咬死了獵人的狗，是狗咬死了獵人，還是獵人的狗被咬死了。二階引數求導書上重點提過 先是一階引數導數dy dx dy dt dt dx ...
可以用一階導數和二階導數的正負判斷函式凹凸嘛嗎？
Zwei 直接將一階導對應曲線遞增還是遞減的關係搬到二階導對應一階導 曲線斜率 的上面來就好了 即 一階導大於 小於 0，F X 遞增 遞減 二階導大於 小於 0，曲線斜率遞增 遞減 這樣就能解釋 f 0，f 0時，他是凸函式 而f 0，f 0時，他是凹函式 了 柯柯柯柯帥 關於函式的凹凸性，不同的...