1樓：alphacalculus
機械波和電磁波都滿足乙個這種形式的波動方程：
...（1）
波長為 頻率為 沿x軸正向傳播的平面波就滿足這個方程（為什麼要用這個平面波？因為上面的波動方程（1）就是根據平面波推導出來的）：
將其帶入波動方程可得 ，
為了只用波動性描述微觀領域的粒子，薛丁格要為微觀粒子湊乙個類似的波動方程，但是根據德波羅意關係，對於自由粒子，總能量為動能
也就是說，薛丁格要尋找的波動方程需要滿足 ，而不是
這個問題依然用乙個沿x軸正向傳播的平面波函式來處理：
...（2）
但是現在這個波函式表示的是乙個動量為 ，能量為 ，沿x軸正向運動的微觀粒子，為什麼要用平面波函式（2）來求解我們需要的波動方程呢，因為機械波和電磁波的波動方程（1）是根據平面波推導出來的。
為了滿足 ，我們看到（2）對x求2階導數會得到係數 乘以 ，所以只需要將（2）對x求2階導數並乘以 ，並可得到 ，係數 就是我們需要滿足的 的一邊，即
顯然另一邊要等於 ，由於（2）對t求一階導數可以得到係數 ，因此可以猜測需要尋找的波動方程的右邊應該是 ，即
（3）將（2）帶入（3），可以解出 ， ,從而一維自由粒子的波動方程（薛丁格方程）為
波函式為
結合尤拉公式，
此波函式的概率分布函式 是常數，因此波函式稱為定態波函式，歸一化積分為無窮大，因此無法歸一化，不是真實情況的波函式。
是定值， ，根據不確定性原理 ， ，因此粒子在x軸上的位置不確定，在哪都有可能，而且各處出現的概率都是A.
2樓：幼兒園理化笙
因為對偶。
描述系統的不僅僅是位置，還有位置的導數——速度（或者用動量也行，總之要兩個）。
只有一階的話，就沒有動量守恆，也就沒有慣性了，原因如下：
就比如說，如果牛頓第二定律不是 而是 ，那麼dx/dt就不是自由的，而是完全受到F的限制，合外力F為0，速度dx/dt也為0了，根本沒有什麼慣性可言，自然也沒有動能之類。
比如，熱傳導方程 和機械波方程 。
機械波可以儲存動能和勢能，而熱傳導方程只能儲存(溫度差的)勢能，而沒有(巨集觀的)動能。
原因就是，動能體現在對t的二階導，勢能體現在對x的二階導。
總之，出現在方程中的都是二階導，是為了讓一階導數(速度)自由。
要是在乙個微分方程中出現了一階導數，那麼能量就是不守恆的，比如有摩擦項的諧振子方程 。
當然也可以將乙個二階微分方程化為兩個一階微分方程，只要是兩個自由度。
3樓：安度嚶·蘭尼斯特
薛丁格方程就是E=p /2m ＋V
然後E、p、V均用算符表示而已
建議題主看一下算符部分的推導，任何一本量子力學書上都會有的不要只從表面去理解方程
4樓：起個名兒好難
薛丁格方程是克萊因高登方程的非相對論近似。克萊因高登方程時間空間都是二階微分，做非相對論近似的時候，時間的二階微分項太小，就略去了。
建立薛丁格方程的一種思路就是：光子和實物粒子都有波粒二象性，光子有對應的平面波，所以實物粒子也有相應的平面波。光子對應的平面波就是電磁波，滿足麥克斯韋方程；相應的容易看出實物粒子對應的平面波滿足克萊因高登方程，而一般的波可以分解為平面波，所以克萊因高登方程就是一般的自由實物粒子對應的波動方程（狄拉克方程的解也滿足克萊因高登方程）。
在原子層次一般的外場就是電磁場，考慮電磁場後就能寫出電磁場中的帶電粒子對應的克萊因高登方程，然後進行非相對論近似，然後就會發現對時間的二階微分項的係數太小，可以略去，就得到帶電粒子在電磁場中的薛丁格方程了。
這篇文章就是用這種方法得到薛丁格方程的。
得到薛丁格方程的一種方法
5樓：
因為要完全解出乙個動力學系統，一定需要二階導數。
在經典力學裡面就是廣義座標、廣義速度（一階導數）和廣義加速度（二階導數）。你看確定動力學系統運動方程的作用量就是這三者的函式。
6樓：天色
瀉藥，我不太懂量子力學，但機械波還是可以說說。
最簡單的機械波是簡諧波，空間上波的傳遞是由無數個介質中的微元質點的震動相互傳播的。前乙個質點的運動帶動後乙個質點的運動
一維波動中，一系列質量為m的小質點，相鄰之間用乙個彈簧鏈結，彈性係數為k，這時需要描述質點偏離中心位置，引入乙個標量函式U，用來表示質點偏離平衡位置的距離。相鄰質點間彈簧長度為dx，所以對處於x位置的質點的收力分析得到質點加速度mu''(x),由於是手機打的，所以這裡用''表示對時間二次求導。質點受兩邊彈簧的力ku(x+dx)-2ku(x)-ku(x-dx)，假設這一維彈簧鏈由A個質點構成，總質點的質量為M=Am，彈簧鏈的長度為L=Adx，彈簧鏈的總彈性係數則變成K=k/A,那麼k/m則改寫為KL/(Mdx)，那麼[u(x+dx)-2u(x)-u(x-dx)]/dx則很明確了，由泰勒級數的疊加可以得到這項等於du(x)/dx。
推廣到三維就是拉普拉斯運算元。
將力看成是流動的，力流入物體然後物體產生了加速度。這個方程的物理意義就是，維元體積裡的質點儲存的力的增速，等於體積裡力的流入減去力的流出，由於流入和流出的位置有乙個距離差也就是dx，流入的力的速度和流出的力的速度也不一樣，也有乙個距離差dx，所以是二次求導。
再來說說薛丁格方程
薛丁格方程分析的是粒子的波函式，所謂波函式其實就是描述粒子處於空間中位置的概率雲，也就是粒子偏離中心位置某距離的概率，由於物質波的存在，可以將波函式套進波動方程，只不過方程中的係數和機械波不一樣，而是用來描述粒子的位勢的函式。
但是量子層面和經典的機械介質並不一樣，因為不能同時觀察得到粒子的精確位置和它的動量。於是波函式的梯度便假想成了空間中的流動。
7樓：nzczll
還大學物理基礎，居然對這個問題都還不明白。
現在的大學物理學教育，真的變得如此不堪嗎？
薛丁格方程本身就是量子力學的乙個基本原理之一，類似是乙個公理，先驗存在，目前還不能從其它原理推導出來。薛丁格方程是否成立，是否正確，只能靠實驗來檢驗，不能根據其它理論來推斷。
薛丁格方程為什麼是空間座標的二階偏導數？這是因為，只有這樣，才能符合實驗。薛丁格還沒那麼傻，去找乙個不符合實驗的方程。
目前還找不到其它解釋。如果有其它解釋，就是意味著能夠從其它原理推導出薛丁格方程，但這目前還沒有變成現實。
這個問題，涉及到怎麼來物理學理論的問題。這個問題，是物理學的最基本問題。物理學理論並不是真理，先驗地存在那裡，等待人類去發現。
把物理學理論看作是真理，本來就先驗地存在那裡，等待人類去發現這個理論。這種觀點，極其害人，根本不符合物理學理論的本質。物理學理論，其實只是人類的一種思想的構建，並不先驗地存在。
物理學理論，本質上其實只是一種數學建模。但這種建模，比普通的數學建模，要高階很多。物理學理論，是一種基礎性的建模，並不是針對某個具體問題建模。
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