1樓：YorkYoung
一、什麼是連續譜。量子力學的基本理論是什麼？
上面簡單介紹了一下希爾伯特空間、譜和譜族的概念，其中連續譜的部分大概在這裡：
運算元A的預解式定義為，使得預解式在全空間都有定義的，叫做運算元A的正則點，其他的點叫做譜點。
譜包括：
1.點譜，不是單射，所以它的逆不存在。
2.連續譜，不是滿射，所以它有逆，但逆的定義域不是全空間，但是全空間的稠密子空間；
3.剩餘譜，不是滿射，它的值域也不在全空間稠密。
對自伴運算元，也就是物理量而言，剩餘譜為空集，所以只有點譜和連續譜，而且其譜集是實數集的子集
我們要看清楚，連續譜和有限維空間中的本徵值根本就不是同乙個概念，原因很簡單，有限維空間中的線性對映，單射與滿射是等價的，這對於無限維空間是不對的，所以無限維空間中的線性運算元必然有完全不同的性質，這必須要求我們把本徵值推廣為譜。
既然連續譜根本就不是本徵值，我們自然不應該去要求它有本徵矢，特別的乙個運算元只有連續譜時，它沒有任何本徵矢！
很遺憾座標和動量就是這樣的運算元，所以在數學的希爾伯特空間中不存在座標 和動量 的任何本徵矢！
二、我們期待著的量子態與波函式的關係
從物理的要求來看，態是是個抽象的概念，而波函式是它的一種具體的表示形式。
從數學上看，希爾伯特空間是乙個抽象的概念：完備的內積空間。首先學過線性代數的都知道，線性空間本身是抽象的，而我們可以用具體地列矩陣來表示其中的向量，當然這個向量到底是什麼，就隨便定義了，只要它符合線性空間的定義中的8條公理。
顯然任何符合希爾伯特空間定義中的公理：線性空間8條、內積4條、完備性1條，的空間就OK了，數學上並不關心它是什麼，當然物理上我們知道這是量子態。（注意，共線的非零向量表示同乙個態，0向量不表示任何態，因此這不是個一一對應）
而波函式則是用具體的函式來表示抽象的量子態，它大致就相當於線性代數裡面的列矩陣。
當然列矩陣有和抽象的向量同樣的性質，我們自然也應當期待波函式有和量子態同樣的性質，最好波函式和態向量是一一對應的！
於是波函式也要有內積 ，並且關於這個內積要構成希爾伯特空間，我們從數學上知道這個波函式的空間就是 。
因此數學看來波函式滿足的條件是：平方可積，且幾乎處處相等的函式視作同乙個函式。
看出來了吧，有的書上說的「連續、可微、單值」都不對！
三、如何把態向量對應成波函式
我們處理譜的數學工具叫做譜族，關於譜族的物理性質，我剛才引用答案中提到
任何乙個稠定的自伴運算元 都對應著乙個唯一的譜族，使得：
積分空間是運算元 的譜集。
這個和被測體系的歸一化態向量 構成了乙個概率測度：
這個概率就是當系統處於 狀態，物理量 的測值在 中的概率。
當然我們知道波函式的模的平方就是概率密度，當然所謂密度就是Radon-Nikodym導數，自然地我們知道：
這裡測度 是 中的勒貝格測度。但是這是不夠的，因為波函式除了概率以外，要表示相位，而相位這東西是個相對概念，因此我們必須找乙個態作為參考。
比如空間 中， 就合適，它幾乎處處都不為0，而 1)" eeimg="1"/>就不合適。
一般來說，這種向量只能在可分的希爾伯特空間中存在，不可分的則一般不存在。
這一步我們得到的波函式就是
但這個波函式不好，因為：
積分測度並不是勒貝格測度，因此我們要提出乙個因子來：
這樣就有 。
其中等號只有無「簡併」時才能取得，這裡的簡併打引號是說，傳統的簡併只能描述本徵值，而連續譜我們一般只能保證這種態向量到波函式的對映為同態而不是同構，這其中的物理本質差不多和簡併是一樣的，即光靠位置不足以區分所有的量子態，所以用打引號的「簡併」。
這裡還有兩個問題：
1.顯然這樣的波函式存在必須要求 ，只有絕對連續的前提下，關於勒貝格測度的Radon-Nikodym導數才是存在的。對於座標和動量，這是成立的，但對於一般的運算元，我們自然不能期待這樣的性質，不過形如 的波函式還是存在的。
2.對於不同的相位參考 ，我們從同乙個態向量可以得出不同的波函式，它們之間相差乙個相位因子，這導致了所謂局域的 對稱性，從而導致了電磁相互作用（可以證明兩種不同座標表象下的動量算符，正好差乙個矢勢項）。
四、為什麼嚴格的數學不能用在物理教學中
上面的流程我們涉及到：
實變函式概念：勒貝格測度、 空間、測度的絕對連續和等價、Radon-Nikodym導數；
拓撲學概念：完備、可分；
泛函分析概念：希爾伯特空間、自伴運算元、譜族、譜分解定理。
以上理論中牽涉研究生級數學知識。
而物理上的方案只需要乙個概念 函式，甚至你不需要完整的廣義函式理論。
所以不可能用嚴格的數學來教育學物理的本科生甚至研究生。
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