1樓：Trivial
藉此回答來論述（抄書）一下惠勒德維特方程及廣義相對論的正則量子化：
時空的3+1分解：
考慮 組成乙個空間4標架： 可以根據此把四維流形分解成三維空間和一維時間方向。誘導度規定義為
.考慮超曲面沿著向量 的方向變化，那麼它可以做分解為
. N叫做時移函式， 則是位移向量。可以證明度規分解為
根據度規和誘導度規的關係以及Gauss-Codazzi方程，我們可以把原來的Einstein-Hilbert作用量寫為3+1的形式
表示和 相關的外曲率。
哈密頓約束方程：
做了這個3+1分解之後，可以讀出此時引力的拉氏密度為
因為它不含有 , 所以拉氏量對其偏導數為0，引力系統存在初級約束。初級約束在運動過程中不變，因此引力系統還存在次級約束。根據拉格朗日方程
便可以很自然的得到哈密頓約束和動量約束，其中哈密頓約束為
我們有基本變數 ,也可以定義和它相關的正則動量
利用正則動量，哈密頓約束可以寫為
引入超度規 便可以得到最後的哈密頓約束的表示式了。
哈密頓約束方程和動量約束等價於四維下的愛因斯坦方程組。
正則量子化：
在這個基礎上如果把正則變數 從經典下提公升為量子的算符，引入正則對易關係
就可以將上述方程進行正則量子化，所以哈密頓約束變成了乙個算符方程，其中
。經典下的哈密頓約束方程，變為量子下的泛函方程
這個方程叫做惠勒德維特方程，也就是題主寫的那個方程。
即波泛函，路徑積分下的形式即
表達從初始態到末態之間的概率幅，最簡單的如果我們固定末態，並且認為初始態時乙個什麼都沒有的初態，那麼概率幅的物理含義就是從無到有生成乙個末態時空的概率。
因為惠勒德維特方程是一般情況下的方程，當然也可以應用於宇宙學時空下作為量子宇宙學的基本方程，為了求解這個方程，還需要引入邊界條件，例如Hartle-Hawking的「無邊界」條件。
因為 組成的度規場超空間是乙個無限維的空間，宇宙波函式作為超空間上的泛函通常是無法求解的。具體進行計算的時候需要對超空間做乙個約化，不過又會帶來負概率的問題，負概率導致內積不一定是正定的，所以無法定義希爾伯特空間。這是正則量子化引力存在的基本問題。
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