1樓：J Pan
既然牽扯到「最」，那就是最優控制問題，那就需要有乙個判定標準，標準是什麼呢？——誤差和誤差變化率累計最小。
詳細證明如下：
二階系統框圖如下，現在加入我們要實現最優控制，看看最佳阻尼比應該是什麼樣。
其開環傳遞函式為
誤差為：
將上面兩個傳遞函式變成時域方程為：
聯立以上兩式就可以得到
傳遞函式只能描述單輸入單輸出系統，現在我們要把它改成狀態方程的形式：
也就是我們要研究誤差和誤差變化率，為簡單起見，我們假設輸入為階躍訊號，即 ， ， ，對應的 ， 。這樣狀態方程就變成
其中完整狀態方程為
我們定義代價函式為：
即兩個變數之間同等權重，用變數表示
現在我們想要 最小，具體應該怎麼做呢？先將代價函式寫成緊湊一點的形式：
這是個積分的問題，所以我們要先找到被積函式的原函式，這個數學問題不是我們的重點，假設我們現在已經知道原函式的長相為 ，即
其中 是乙個待定的實對稱矩陣，我們把它看成待定係數，現在要研究一下這係數需要滿足什麼條件，我們把上式的左邊微分展開：
把狀態方程 代入上式，於是我們就得到：
如果我們保證 ，由於 是已知的，這樣我們就能確定 ，也就能確定原函式 ，此時
我們的系統是穩定的，而且輸入為零，這樣我們就可以得到 ，所以代價函式可以進一步簡化為：
其中 滿足 。
注意：所有的二次型最優控制，形式可能會很複雜，但是處理思路和方式都是這樣。
至於 怎麼求解，我們就不說了，就是我們一直使用的待定係數法，感興趣可參見Katsuhiko Ogata的「Modern Control Engineering Fifth Edition」，我們的計算得到的 為：
將 代入
就可以得到代價函式為：
現在我們要計算 的極小值，先對變數微分
也就是說，當阻尼比 取0.7左右時， 這個損失函式取極小值——也就是說從整體來看，誤差和誤差變化率累計最小，這就是為什麼我們一般把二階系統的阻尼比設定在0.7左右的原因。
摘選自長篇專欄文章：J Pan：什麼是二次型最優控制
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