1樓：魯勃特之淚
打個比方，令x為年份，f(x)為某國家/地區全年gdp總量，則f'(x)為gdp增長率，f''(x)為gdp增長率的變化率。
2樓：張子涵
三階以上的導數難以理解，就如同三維以上的物體難以理解一樣，因為日常生活很難見到。
一階導數是位移，我家距離學校5000公尺，好理解。
二階導數是速度，我每次要花5分鐘到學校，所以我每分鐘走1000公尺，好理解
三階導數是加速度，我走到一半的時候，鞋帶松了，於是蹲下綁鞋帶，此時速度驟減至0，加速度瘋狂下降，好理解
四階導數是加速度的變化率，好，我舉不出例子了。
因為加速度的變化率的變化，對於日常生活的影響太不明顯了，所以我們很少會留意到，故難理解。
3樓：
再補充乙個例子：通貨膨脹，溫和的通貨膨脹，採取措施遏制通脹過熱的趨勢。
正經地說，直觀不只是幾何上的直觀，代數學也可以有直觀。你把導數放在代數學視角下，就是不斷乘矩陣嘛。非常清晰直觀且性質優美。
4樓：
講路程和時間的導數關係時只講到加速度我覺得也是個原因……
幾乎一切講高階導數的物理含義的課程，都會從路程對時間的一階導——速度，開始講起。然後講路程對時間的二階導——加速度。然後……就沒有了。
而實際上，路程對時間的三階導和四階導，也就是加速度隨時間的變化率、以及這個變化率隨時間的變化率都是有名字的，分別叫急動度（jerk）和痙攣度（jounce）。而且急動度也是可以被人的感官所直接感受到的，儘管比加速度要微妙一些：坐車時車輛啟動和剎車帶來的「推背」感和「前衝」感，有時候會讓人比較舒適，有時候則會讓人很難受。
一般而言，這個過程中的急動度越低，人在主觀上就會感覺越舒適。對應到駕駛員的操作上就是：踩下油門/剎車的過程越平穩，即加速度的變化率越接近零，那麼乘客就會感覺越舒適。
近年來，Linz和Sprott（1997）將上述急動度概念推廣為任意含時變數對時間的三階導，嘗試建立了被稱為猝變動力學的新研究方向，試圖研究這種高階時間導數和複雜系統行為之間可能的聯絡。不過這是個相當新的領域，我對此只是有所耳聞，沒有認真了解過。
所以你看，學術界都差不多在二十年前才開始嘗試開闢這個方向，還不知道價值如何，等這些概念下放到通識教育範圍不知道會是什麼時候……
5樓：夢羽靈泉
零階已擼一階
每週一擼
二階每週都比上一周多擼一次
三階每週多擼的次數越來越多了
四階用總理的話來說，我要控制住每週多擼的次數的不斷增長！！！
其實這個事情讓我思考乙個問題，就是「總量的定積分」有沒有什麼實際概念呢？
6樓：9012
因為很少有高階導定義的概念啊……比如速度，位移變化率是求一階導，加速度是求二階導，變加速運動的加速度變化率是求三階導，加速度變化率的變化率是四階導，再向上定義就麻煩了，實際用處也不大
7樓：
有時候，思考一下，感覺很有意思：
汽車的位移：顯示於里程表
一階導數為車速：顯示於車速表
二階導數為加速度：加速度可以認為是噴嘴的噴油量，顯示於瞬時油耗表。有部分答主認為是油門踏板被踩踏的行程，我並不同意。
因為即使保持某個油門，加速度也會逐漸變小。也可以看到，瞬時油耗也是逐漸變小。
三階導數為加速度的的變化度：這個數值應該是某乙個固定時間內的平均油耗。加速度變化程度大的人，平均油耗就高。
但是請注意，因為現實中的平均油耗需要手動歸零，故加速度的速度與平均油耗還是有一定區別。可以理解為固定時間區間的平均油耗。比如10分鐘內的平均油耗。
四階倒數為變加速度的變化度：這個數值可能體現為路況的轉換。比如市區路況是頻繁加減速，高速路況是較少的頻繁加減速，這兩個三階導數之間的變換就是四階導數。
或者說，四階導數是「車輛在不同路況間的流竄性」。比如，我一般就是市區路況，很少郊區路況，所以我的四階數值低。但是有的人每天都要市區+高速頻換，他的四階導數數值高。
五階導數，不知道如何稱呼，它是上述例子中我和那個流竄者之間互動變化速率高低的數值。可以理解為，單獨的我，五階導數應為0。和上述四階導數中數值高的人換一次身體，才體現為有了五階導數。
故，五階導數暫時稱為「換身率」吧。
六階導數，是換身率，的變化率。比如，四階中提到的那個人每次和我換身體都要錢，那麼我收入穩定時，換身率應該會保持穩定，那麼六階導數就很低；當我收入不穩定時，換身率的變化率就很高。
七階導數，滾！
不知道這個模擬解答了題主的答案了沒有？總結來說，越高階導數，越是虛無。
8樓：
幾何上說到二階導我們想到的是曲率。比如如下的黎曼度量在normal coordinate下的泰勒展開：
更一般的，這裡 有乙個算好的到六次的展開。另外我們看一下黎曼空間裡球體積的泰勒展開（正好是我這個禮拜的作業）：
其中 是平坦空間裡單位球的體積。
這兩個故事告訴我們什麼呢？
二次項都是曲率，前者是黎曼曲率，後者是標量曲率，差不多可以理解為黎曼曲率的平均（Ricci曲率）的平均，總之都是比較常見的東西。更高階的就不那麼常見了（至少比最直白的這些曲率們要罕見一點），但是他們並不難，比如說體積的四階的引數，是乙個混雜了上述三種曲率的東西，想做計算的時候我們可以輕鬆地開始計算，但我猜大概只有做這方面研究的數學家會對這個東西有個精確的直觀的理解。我的理解就是單純的，三次項和曲率的變化有關，四次項和曲率的變化的變化有關，沒有更高深的東西。
哦我突然想起來，在三維裡的曲線上我們是有乙個直接關聯到三階導數的量的：曲線的撓率。給定乙個三維空間裡曲線的引數方程 ，我們定義這個曲線的撓率為 撓率描繪了這個曲線有多麼扭曲。
什麼意思呢？三維裡面我們描繪乙個曲線在乙個點上的的曲率的時候要先找到乙個平面使得，怎麼說呢，使得你坐這個曲線形狀的過山車的時候感受到的向心力和切向速度都在這個平面上，然後曲率就是這個面上的乙個向量，然後撓率就衡量了這個曲線接下來逃離這個面的速度。。。感覺我解釋的不太清楚，有興趣的小朋友可以自己去搜搜看。
以上是空間上的二階導，那麼時間上的呢？
其實 都是有名字的，前者叫jerk, 後者叫snap. 他們確實都比較少見，尤其是四階的，但好像三階的在工程上也有些應用，感興趣的小朋友看這裡：Jerk (physics) - Wikipedia
9樓：巫山拾遺
以前高中遇到過一道題印象十分深刻，他構造了乙個：加速度減速減小的加速運動。
那麼來分析這句話，
位移算是原函式，速度算是一階導，加速度是二階導，但是加速度也是變化的，是在減小的，而且是在減速減小的，說明什麼？
位移原函式大於零，速度一階導大於零，
加速度大於零，加速度一階導小於零，
加速度二階導大於零。
一句話都用到五階導了（好吧，是四階...），能想象到是乙個什麼樣的運動嗎？
10樓：李世培
用開車近似一下。
路程一階導：車速
二階導：油門深度（車的加速度）
三階導：踩油門的速度
四階導：踩油門的力度（油門踏板的加速度）
五階導：踩油門時用的力變大的速度（啟動時刻，慢慢給油 vs. 地板油）
夠直觀嗎？
11樓：
這是大腦記憶容量和計算的所需記憶體的最佳匹配啊。
簡單說起來，大腦是不連續的，計算方式類似計算機，用差分來近似微分。
拿位置來說，大腦怎樣計算速度？
先記住之前某一點的位置S1，再看一下下一時刻的位置S2，然後用差分(S2-S1)/deltat來計算。
那麼怎麼樣計算加速度呢？
先記住之前某一點的位置V1，再看一下下一時刻的位置V2，然後用差分(V2-V1)/deltat來計算。
可是V1V2又怎麼來的？當然是：
先記住之前某一點的位置S1，再看一下下一時刻的位置S2，然後用差分(S2-S1)/deltat來計算V1。再次記住之前某一點的位置S3，再看一下下一時刻的位置S4，然後用差分(S4-S3)/deltat來計算V2。然後用差分(V2-V1)/deltat來計算。
所有的這一切，都是在你的大腦中進行的，所以：
為了計算速度，大腦要記住三個變數（S1，S2，V）。
為了計算加速度，大腦要記住七個變數（S1，S2，S3，S4，V1，V2，A）。
如果要計算加加速度（三階導數）呢？需要記住15個變數（S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，V1，V2，V3，V4，A1，A2，D）！
以此類推……
所欲，能理解幾階導數，和大腦能記住幾個變數有關。而大腦能記住幾個變數呢？喬治·公尺勒告訴我們：
這個神奇的數字是：7+/-2
所以你知道我們能理解幾階導數了？
12樓：
舉個栗子
高鐵上用的道岔上曲線的曲率接近任意階可導，所以儘管是200多的速度開過去，你的屁股感覺不到道岔的存在，普信道岔多採用的是固定曲率曲線，稍微好點也就最多二階可導，就算是可動岔心也是，所以就算是30多碼的速度，你的屁股還是會告訴你變軌了。
補充：採用的是尤拉螺線
13樓：
原函式:你的線代期中成績
一階導:你複習線代的速度
二階導:手機，電腦遊戲對你的吸引力
三階導:你暗戀的人給你帶來的動力
四階導:你的理想給你帶來的動力
14樓：Jayk
想起馮諾依曼的話：Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them.
只是三階的遇到得少，還不是很習慣。
15樓：窩室四望
忽然想起一篇講iOS圓角圖示所用曲線的文章……在這兒Hi-iD：從圓角到圓角
『曲線的曲率的變化率是連續的』
這大概是個三階導數吧（手動滑稽）
16樓：空一格
這個就在於物理直覺了，平時多細心觀察。
比如開車時一深一淺地踩油門，這就有三次求導。
位移是時間0次導;
速度是時間1次導；
加速是時間2次導;
油門深淺決定了加速度隨時間發生變化，那麼這就是時間的3次導！
這種例子不少見，只要細心體會。
17樓：ks374
其實這是乙個很好又很複雜的問題，幾個高票答案都有一些道理，但是都不夠數學。
「二階導以上很少用」的根源在於我們認知世界物理規律的公式大多是平方率。加速度是位移的平方，能量是位移的平方。幾個最主要的公式，比如麥克斯韋方程組裡的高斯公式，牛頓第二定律都是到二階導為止的。
這也就讓我們沒有經常接觸三階導的需要。
那麼為啥他們都是二階導呢？首先從數學上來看，很多式子推導中我們把函式泰勒展開，基本上也就只留到2次項，高階項作為無窮小量被省去了，也就是說我們沒有考慮更細緻的內容。乙個函式，我們用一階導來看它的單調性，用二階導來看它凹凸性，三階導代表了它更細緻的幾何內容，比如「凹的曲率變化率」這種。
而它並不是我們一眼就能看出來的東西，也就作為小量被省略掉了。
那麼我們為啥看不見他呢？乙個有趣的觀點認為這是因為我們的世界是三維的。體積是位移的立方，求兩次導就到頭了，再求是0就沒有意義了。
反過來也可以說，二維世界沒有二次導，對他們來說辨別函式的凹凸性是很困難的，他們只能看出來乙個函式是上公升還是下降。而一維世界的函式甚至沒有一階導，也就是說他們的函式不可能是連續的，是能理解一一對應的點。（畢竟他們無法畫出一條線）。
反過來，我們也可以說四維世界的加速度可能以某種不可思議的方式成為位移的立方，其中一定含有某種被我們省去了的資訊。
函式有界，三階導有界，一階導和二階導有界嗎？怎麼證明？
用帶拉格朗日餘值的泰勒公式 f x 1 f x和f x 1 f x這兩個式子加上f x 及其三階導數有界的條件和x的任意性即可證明。這應該是北師大的一道考研題，華東師大也考過。 齊昱 反設二階導無界，取點列xn趨於x0，x0是二階導的發散點。Lim f xm f xn xm xn 當m,n趨於無窮的...
為什麼引數方程的二階導數不能直接對一階導數求導？
ayamir 求二階導的過程就是對一階導接著導的過程，但是需要注意的是一階導是關於t的函式，所以這樣直接求得的是對t的導數，所以這相當於是個復合函式求導的過程。還需要再乘t關於x的函式求導的結果，而已知的是x關於t的函式。根據反函式的求導公式就需要乘x關於t的導數的倒數。即得到了公式，下面給個例子 ...
怎麼理解振動系統一階模態，二階模態。。。。這個階怎麼理解？
韭菜阿斬 傅利葉說所有波形都可以用正弦波疊加表示，反過來說比如用5個不同頻率的正弦波疊加成當前的波形，那麼這五個正弦波的頻率就是1到5階。 Firstly make clear about the difference between lumped system and distributed sy...