怎麼解釋數域p上n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n 維？

1樓：

我的直觀理解是這樣的。因為每個n維的線性變換$T:V\to V$與其表示矩陣$M_$（維度為$n\times n$）都是一一對應的。

可以證明V裡的所有線性變換組成的線性空間與所有$n\times n$的矩陣是同構的。這樣結論就很明顯了。

具體證明可以參考Axler的Linear Algebra Done Right Chapter 3.

2樓：羊羊羊

有限維線性空間的維數

=其中極大線性無關組的向量個數

=該線性空間的基的個數

=與該空間線性同構的空間的基的個數

=與該空間線性同構的空間的維數

對於由基為u_k的n維線性空間到另乙個以基為v_k的n維線性空間的變換T所組成的空間L

考察T u_j= sigma a_ij*v_i則L同構與n*n個係數係數a_ij組成矩陣的空間M這是乙個線性空間，顯然這個維數就是n*n。每乙個只有乙個元素為1其餘為0的矩陣都是M的乙個基，這樣的基有n*n個，而且線性無關。

矩陣就是在兩個給定基的線性空間之間的線性變換的表示。

3樓：天下無難課

空間的維數是啥？就是其元素構成需要裡有多少種區分，比如描述乙個人，他可以有年齡，身高，體重…一系列數字來描述這個人，數字都是數字，它們不僅有大小的差別，更有性質的區分，每乙個性質的區分就是乙個維度。你用多少不同性質的數字來構成乙個描述乙個人的陣列，這個陣列就是多少維的。

這個陣列另外的乙個名字就叫向量，乙個向量需要有n個數字來構成，它就是乙個n維向量，把所有的n維向量湊在一起就成了乙個n維空間的集合。對不同的人統一用這n維來描述，因為它們在各個維度上的數字會有所不同，就成了不同的向量。

你看，這裡的關鍵是你需要多少「維度」來描述你這個空間裡的元素。乙個空間裡的線性變換的數學表達就是乙個n階矩陣。乙個n階矩陣是由n個n維的向量構成的。

你現在要把乙個n階矩陣作為乙個元素來看待，那麼，你就不僅有在向量維數上的區別，同時還有在矩陣中n個向量位置上不同向量的差別。這個差別的數字是n*n=n的，你需要n個區別(維度)來描述這個空間裡的乙個元素，由這些元素構成的這個空間就是n維的。

還有另外乙個角度來解釋。在乙個向量(陣列)裡，乙個數字除本身的大小形成差異外，還有差異的形成是這個數字處在哪乙個維度上。如果乙個向量裡有n個位置可以置放數字，不同的數字之間就有n個位置點差異，這個向量(陣列)就是n維的。

乙個空間集合的基本單元是n維的，這個空間就是n維的。數字大小的變化是在乙個維度裡發生的，空間的維度取決於元素的維度，而維度則是指數字到變化可以在多少不同的位置(性質)發生。

現在，我們看乙個數字在乙個矩陣裡的位置情況，它不僅有在每乙個列向量上下n個位置的區別，它還有在到底是處於n個列向量裡哪一列的區別，這時，它的位置可以變化的多少就不只是n個了，而是n*n=n個的。而在向量裡，乙個數字只有處在n個位置其中之一的可能。

所以，當你把乙個矩陣作為空間的元素時，每乙個數字發生變化的可能位置就不止n個了，而是n個。這樣，由乙個P域上的線性空間裡的線性變換線(它的數學表示式是乙個矩陣)作為元素構成的空間就是n維的了。

囉嗦好多，再囉嗦一下。乙個向量要與另乙個向量有差別，就至少在乙個維度上有數學大小的差別。乙個n維的向量就意味著你有n個不同的維度(性質)可以比較數量上的差別，若要兩個向量沒差別，就必須在n個維度上數字都一樣，它們才沒差別，才是同乙個空間元素。

而在把矩陣作為空間元素時，若你要區分開兩個空間元素，你就必須確保在兩個矩陣裡至少在乙個相應的位置上的數字有不同，這種可以發生差異的位置有n個，所以這是乙個維數為n的空間。

再再囉嗦一下，這個問題除了要整清楚咋來認定維數(多少個比較點)外，乙個小的問題是明確「線性變換」組成的空間裡啥是元素。當然，題主已經說了，元素是「線性變換」。或有人疑惑，那是啥玩意？

這其實指的就是矩陣啦。這比直接問「若以矩陣為元素組成的空間的維數為啥是n」就多了一道彎，多搞一下腦子。

怎麼解釋 數域p上n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n 維？