1樓：遙遠地方劍星
從問題表述來看，所說的「數集」應該是指「實數集」。
於是這個問題本身沒有什麼太多好回答的。只要對集合論和實數理解得夠紮實，就知道在基於通常對實數大小定義的前提下，實數集合的完備性（任意子集有上界必有上確界）與大小定義的「方向」無關，只需要將「大於」定義為「小於」、「小於」定義為「大於」，問題中的推論就證明完了。
值得回答的倒是「為什麼實數集是完備的？」。我看到有的答主上傳了哈工大數學分析教材截圖，其中將實數集合的完備性作為了公理。
其實從集合論角度出發，更準確地理解應該是「實數集合被定義為擁有無界可數稠密子集的完備線序集」。
之所以能夠這樣定義，是因為從同構（isomorphic）的意義上講，這類集合是存在且唯一的。
乙個線序集（任意兩個元素都可比較大小的集合）P 是稠密的（dense）被定義為： 且 ， 。
乙個線序集P是另乙個線序集A的稠密子集被定義為： 且 ，都有 。
稠密集合未必是完備的，比如有理數集合是稠密的，但是卻不是完備的。例如集合 當然是有理數集合的乙個有上界的子集（比如集合中的任意元素都小於有理數4），但是在有理數範圍內卻沒有上確界（最小上界）。
可是，基於任意乙個無界稠密線序集 P ，都可以構造出乙個完備的線序集 C ，使得 P 是 C 的稠密子集。
構造方法也很簡單——戴德金分割：定義（A，B）是稠密集合P的乙個戴德金劃分，滿足
（1） ；
（2） ，都有 ；
（3）集合A沒有最大元素；
由稠密性可知，這樣的劃分一定存在。
將全部戴德金劃分構成的集合記作 C ，並定義，當 時 。從而對於集合 C 的任意有界子集 （這裡 I 為某個指標集），其上確界都存在且為 。因此，C 為完備線序集。
另外， ，令 ， ，從而這樣的 構成的集合是集合 C 的乙個稠密子集，且這個集合與 P 同構。這就證明了 P 是 C 的乙個稠密子集。
也就是說，擁有無界稠密子集的完備線序集是存在的。
最後，康托爾證明了擁有可數無界稠密子集（與有理數集合Q同構）的完備線序集在同構意義上是唯一的。
康托爾首先證明了任意可數無界稠密線序集都是同構的（證明過程不寫了），然後假設 與 是兩個完備線序集，各自擁有乙個可數無界稠密子集 與 。由於與 必同構，所以存在它們之間的同構對映 f ；利用 f 就可以構造乙個 與 之間的同構對映 為
， ，從而證明了 與 是同構的。
從而，擁有可數無界稠密子集的完備線序集在同構意義上是唯一的。
由此，我們可以把「擁有無界可數稠密子集的完備線序集」定義為實數集合。
所以，說實數集合滿足完備性是乙個公理當然可以，但是更準確地說來，這是對實數集合的定義。
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