1樓：從前有乙隻嗚喵
一點點粗淺的想法...
根據第一位答主的想法繼續下去，希望找乙個函式 使得它在某乙個稠密的零測集上連續，儘管暫時還沒有思路，但是下面給出了乙個除去乙個零測集在一稠密集上處處不連續的例子，希望對這一問題能有一定的幫助。
設 是乙個 的排列，並考慮函式
，注意到它在任何乙個區間內都無界，因任何區間上總有對 足夠好的無理逼近，但它又是幾乎處處有限的，這因級數的每一項積分都可以被 控制。它在任何取值有限的點都不連續，而這些點稠密。
2樓：
下面的回答有誤，待更正。
存在，我的思路是找到兩個函式
分別滿足 當且僅當在有理數處連續， 當且僅當在無理數處連續。我們通過分段函式的方式定義我們所需要的函式 為：
0\\g(x),x<0\end." eeimg="1"/>那麼 滿足條件。
對於函式 的構造，下面給出兩個很經典的例子：
可以被選取為Riemann函式： 0且p,q 既約\\0 ,x\in\mathbb R\setminus \mathbb Q\end" eeimg="1"/>
由於有理數集 可數，令 是乙個單射，定義
是否存在乙個函式，使得它的逆運算是容易求的，而它的逆運算的逆運算是難求的？
我真沒登出 存在的。Rsa，私鑰加密，公鑰解密。可以使用雙元法。加密需要兩個數a，b，解密只需要ab。ab可以公開，但a和b不能公開。不能從ab來計算a和b。a和b最好是比較奇怪的數字，把小數點去掉之後的整數最好有很多因子，做到不能在理想的時間內破解就好了。 undefined 你這裡有個很嚴重的問...
是否存在無理點不連續 有理點連續的函式？
折翼 不存在。但是解釋起來稍稍有點複雜，需要用到點集的語言。以下說的 函式 都是指把實數對映成實數的函式。高維空間中的函式同理。學過微積分就會知道，有乙個被稱為黎曼函式的奇妙函式 它在無理點連續 有理點間斷。這裡的關鍵原因是，對於任何 0,eeimg 1 滿足 varepsilon eeimg 1 ...
乙個處處不連續的函式，它的原函式可導嗎？
河北上將阿福 有限維Banach空間中非空開集到賦範線性空間的對映若處處間斷，則一定沒有Fr chet導數意義上的原函式 但就非退化區間上的實變函式而言卻可能存在積分原函式 事實上，我們總能換掉連續函式在乙個零測集上的取值，從而在不改變某些型別的可積性和積分值的前提下取消其正則性 這是因為，任取有限...