1樓：河北上將阿福
有限維Banach空間中非空開集到賦範線性空間的對映若處處間斷，則一定沒有Fréchet導數意義上的原函式（但就非退化區間上的實變函式而言卻可能存在積分原函式：事實上，我們總能換掉連續函式在乙個零測集上的取值，從而在不改變某些型別的可積性和積分值的前提下取消其正則性）。
這是因為，任取有限維Banach空間中開集到賦範線性空間的Fréchet可微對映，的依範數連續點集為型集（於實空間中Baire-typically L-零測），依範數間斷點（在每個方向上都只有可能是「振盪型」）集為型貧集。參考：How discontinuous can a derivative be?
簡證：凡屬到偽度量空間的對映，由振幅函式可知連續點集為型。跳躍型（含）用有限增量定理不難排除；至於貧集，表為\frac\}" eeimg="1"/>（這裡我們利用約定，規定任意點與空集的距離為），在此開集列中每個集上拼湊出依範數連續的差分函式列來逐點依範數逼近。
也見: 存在導函式每一點都不連續的函式嗎？
@余翔反之，對有限維實Banach空間中開集包含的任何型貧集，都存在到任意非零賦範線性空間的Fréchet可微對映，使 恰在上間斷。事實上，基於賦範空間的凸性，我們可將任何閉區間上的依範數相對可微實變函式以「線動成體」的方式擴充套件成閉平行多面體上的相對可微函式；又的一切範數皆等價，借助中開集的構造定理（非空開集是可列個半開閉方體的不交並），對每個舒朗閉集易得上取乘積形式可分離變數的「一維值」Volterra型函式，餘類同Andrew M. Bruckner,Differentiation of Real Functions, 2nd edition, CRM Monograph Series #5, American Mathematical Society, 1994(Chapter 3, Section 2, Theorem 2.
1, p. 34)。
就題主更關心的對實變Banach值強Henstock-Kurzweil積分原函式求Fréchet導數，最後貼張圖，來自S. Schwabik and G. Ye, 「Topics in Banach Space Integration, Real Analysis,」in Real Analysis, vol.
10, World Scientific, Singapore, 2005. 注意蘊含(二者在型集上等價)，後者又蘊含；特別地，每個實變有限維Banach值函式一定L-幾乎處處可微，故每個實變有限維Banach值函式都能當（強）HK積分原函式——與之相對，無窮維Banach值實變函式有可能處處Fréchet不可微（從而不會是強HK積分的原函式）卻是某HK積分原函式；HK積分原函式必( )，則依範數連續，但其「可微性」涉及對偶空間，此處從略。
這裡可作為相應的積分原函式。另外，幾近處處（nearly everywhere，即除至多可列個點外）Fréchet可微的實變Banach值函式的定義域可表為可列個集之並，使該函式在其中每個集上；結合起來可得較廣形式的微積分基本定理。我覺得這些也就是@森林想說的（注：
對有限區間上的實變Banach值函式而言，強HK可積蘊含HK可積且積分值相等；這兩種積分在函式值有限維時其實等價）。
2樓：Yuhang Liu
乙個Lebesgue可積（我沒聽說過最高票答主提到的HK可積所以只說Lebesgue..）的函式f，其變上限積分存在且幾乎處處可導，且導函式幾乎處處等於f。更準備地說，在所有的Lebesgue點可導，且在幾乎所有的Lebesgue點等於f。
而不是Lebesgue點的點是個零測集。
然而，這裡吊詭的地方就在於「幾乎處處」。雖然你知道這個變上限積分的導數在絕大部分點都和f相等，但是你就是不知道給定乙個點他們到底相不相等（就好比幾乎所有的數都是超越數，但不表明隨便寫乙個數可以很容易確定它是不是超越數）。實際上，在實變函式、Lebesgue積分的那套框架內，改變乙個函式在某個零測集上的點的取值是不構成影響的，乙個函式在某個確定的點的取值也是沒有意義的。
實變函式的基本觀點就是把函式看成某種「統計意義」上的、模模糊糊的乙個「形態」，而不是乙個確定的R到R的對映。
3樓：交換子
考慮Dirichlet函式其某個原函式對任意，從而幾乎處處成立。
事實上，對於任意乙個區域性可積函式，其積分上限函式都是幾乎處處可導的，並且其導數值恰好等於。
4樓：森林
1。首先有個問題，原函式是否存在？
答案在這: 緊集上的函式f存在原函式，當且僅當f是HK可積的，且所有點是Lebesgue點。關於HK積分的理論，請wiki：
Henstock–Kurzweil integral2。其次，如果f的原函式是存在的，那麼該原函式幾乎處處可導，且導函式幾乎處處與f相同。（依lebesgue測度）
順便宣揚一下HK積分，它是一種比lebesgue積分更大的積分類，而且在推廣ftc方面做的比lebesgue積分漂亮些。但致命弱點是，HK可積的函式其模未必HK可積，這在分析裡就很致命了（rudin語）。但這一積分在幾何裡表現很好（我家導師語），所以應該還是蠻重要的。
5樓：
題主，是這麼回事。姑且認為函式在點 處連續，當那個函式在 處的值從 換成 的時候，你人為造出了乙個可去間斷點，而可去間斷點並沒有對應的原函式。或者說乙個函式的導函式並不會有可去間斷點，那麼你的問題也就不存在了。
乙個函式的原函式一定連續，因為這個原函式一定可導，可導就一定連續。
6樓：Richard Xu
@刃先 的答案並沒有幫助，只說明了連續是充分條件，這裡需要考慮的是必要條件。
如何判斷乙個函式是否黎曼可積以及是否有原函式？ - 陸zz 的回答@陸zz
有界閉區間[a,b]上函式黎曼可積的充分必要條件是函式有界，且幾乎處處連續（不連續點集為Lebesgue零測集）處處不連續的函式並不黎曼可積
7樓：楓華
建議題主看看可積條件。
定理9.4——若f為【a,b】上的連續函式，則f在【a,b】上可積。
數學分析（第四版）》上冊，華東師範大學數學系編，高等教育出版社。
存在原函式一定連續嗎？不存在原函式一定不連續嗎？可積不一定連續？這些都有什麼反例嗎？
三仔 連續函式是一定可積的，這個證明的話你找一本數學分析就行了，所以不存在原函式一定不連續 有些不連續的函式也可積，乙個例子是 f x 2x sin 1 x cos 1 x x 00，x 0 注 這個和下面的都是分段函式，這裡沒法打大括號顯然這個函式在x 0處不連續，但它可積，它的原函式為x sin...
乙個函式存在可去間斷點沒有原函式，但存在可去間斷時有變上限積分，且變上限積分可導。矛盾嗎？
yynzhenshuai 22考研黨，今天剛好也想到了這個問題，原函式和變限積分就沒有關係 不定積分存在定理 可以證明含可去間斷點，跳躍間斷點，無窮間斷點的f x 在含這些間斷點的區間上沒有原函式，證明如下 1 通過導數介值定理，f x 只要能取到兩個值，就能取到這兩個值之間的任意值，所以f x 裡...
是否存在乙個函式，使得它的連續點集和間斷點集都在定義域上稠密，並且具有正測度？
從前有乙隻嗚喵 一點點粗淺的想法.根據第一位答主的想法繼續下去，希望找乙個函式 使得它在某乙個稠密的零測集上連續，儘管暫時還沒有思路，但是下面給出了乙個除去乙個零測集在一稠密集上處處不連續的例子，希望對這一問題能有一定的幫助。設 是乙個 的排列，並考慮函式 注意到它在任何乙個區間內都無界，因任何區間...