1樓：yynzhenshuai
22考研黨，今天剛好也想到了這個問題，
原函式和變限積分就沒有關係
不定積分存在定理
可以證明含可去間斷點，跳躍間斷點，無窮間斷點的f(x)在含這些間斷點的區間上沒有原函式，證明如下
1>通過導數介值定理，f'(x)只要能取到兩個值，就能取到這兩個值之間的任意值，所以f'(x)裡面是沒有有可去，跳躍，無窮間斷點
2>原函式與變限積分就沒有關係，只是在f(x)連續的情況下，f(x)的原函式恰好是f(x)的變限積分而已。
定積分有變限積分
1>定積分存在的充分條件
2>定積分存在的必要條件
變限積分
變限積分的定義是基於定積分的，所以被積函式f(x)同樣要求滿足有界區間，有界函式（所以也是不能有無窮間斷點，可以有可去間斷點，跳躍間斷點，振盪間斷點）
1>變限積分只要存在，必連續
證明如下(略)
2>研究有可去間斷點，跳躍間斷點的f(x)的變限積分可導性
（在定積分中，改變有限個點的函式值，積分值不會變，定積分是曲邊梯形的面積，改變有限個點的函式值，曲邊梯形面積不會變）變限積分同理。
f(x)含可去間斷點x0，由不定積分存在定理可知它沒原函式
但是f(x)可以有變限積分F(x),且F(x)連續，並且F(x)在x0那可導，導數值是被積函式f(x)在x0處的極限值
原函式跟變限積分就沒關係，只不過f(x)連續的時候，它的乙個原函式恰好是變限積分而已。
把原函式和變限積分這兩個概念分開想
所以有可去間斷點時，由不定積分存在定理沒有原函式，而變限積分只要滿足被積函式f(x)有限區間，有界函式就有變限積分F(x)，但這不是原函式。它沒有原函式，但是跟有沒有變限積分就是兩個不同的概念和判斷方法。前面已經說明。
2. f(x)含跳躍間斷點x0，由不定積分存在定理可知它沒有原函式
但是f(x)可以有變限積分F(x)，且F(x)連續，並且F(x)在x0那不可導，因為F(x)在x0處左導數是被積函式f(x)在x0處的左極限，F(x)在x0處右導數是被積函式f(x)在x0處的右極限，左右導數不等，所以在x0處不可導
2樓：李嘉冉
變上限積分在被積函式在區間內有可去間斷點時可導，但是它並不是那個被積函式的原函式，這好像並不矛盾呀。變上限積分在間斷點處的導師值是被積函式在該點的極限值。
3樓：龔漫奇
不矛盾。
因為定積分有乙個性質：就是改變被積函式在乙個點的函式值（包括原來有定義改成無定義，要或者無定義改為有定義）這個定積分的值不變。
因為對於可去間斷點可以重新定義那個間斷點的函式值，使其連續，因此把被積函式可去間斷點補上定義使其連續，並不改變，變上限函式的函式值，而被積函式連續時變上限函式可導。所以在可去間斷點沒有定義的函式的變上限函式與連續函式的變上限函式具有同樣的（因為改變乙個點的函式值，不改變其積分值）的函式值，也就是兩個變上限函式恒等，因此就有同樣的性質，因此它是可導的。
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