1樓：9527
先說結論：二元函式可微，推出該點存在切平面
參見同濟大學高等數學教材下冊，第七版（某度能搜到電子版），P100
偏導存在就是指x和y兩方向的偏導存在
結合二元函式的幾何意義，切平面存在，必須要曲面上通過該點任何方向的曲線都具有切線，且這些切線都在同乙個平面（切平面）上
二元函式可微，所以在該點函式連續，即在該點鄰域內沿任何方都趨近於該點的函式值，反映在幾何圖形上，就是該點函式曲面光滑（參照一元函式曲線光滑的定義）。只有在該點光滑，才會有切平面的存在
以上第2、3條是從幾何圖形（數形結合的思維）來看待，具體分析見教材，F(x,y,z)=0，對方程兩邊求全導，在該點可微才能推出法向量與曲面上通過該點的任意一條曲線的切向量數量積為0，即該點任何方向的切向量都和所選取的法向量垂直，即任何方向切向量在同一平面上（切平面存在）
至於可微的充分條件，同濟教材P74頁，構造增量，對x、y分別用拉格朗日中值定理，可證明在偏導數連續的前提下全微dz分存在
2樓：善意謊言125
剛好學完多元函式，下面是自己的理解(。-`ω-)。
可微，是指該點處的各個方向的切線都處於同一平面，即，該點存在唯一切平面。
偏導存在，含義是該點只對 方向的偏導存在（存在切線）；其他方向的呢，就不知道了欸。
偏導連續推出可微，這個看看你的教材，肯定是有證明的。
用的拉格朗日中值定理證明。
如果不說公式推導證明的話：
因為偏導數連續是比可微更強的條件/限制/要求。
可微只對這一點的偏導數提出了要求；
而偏導數連續是對這一點及其鄰域內的偏導數提出了要求。
所以，偏導數連續是更強的條件/限制/要求。
那麼，偏導數連續能夠推出可微也是自然的。
同樣的，為什麼可微無法推出偏導連續：
因為可微只能說明這一點處的情況，而無法說明這一點及其鄰域內的情況。
自然是無法反推的。
順帶，其實推出可微只需要乙個偏導連續，另乙個存在就行了。
不過我書上講得是一階偏導都連續推出可微。
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