1樓：何門
首先你這個函式一定是黎曼不可積的，黎曼可積要求在閉區間上有定義，你這個函式在0處無定義怎麼積。。如果補充定義f(x)=0當x=0時，那麼是可積的，連續函式必可積。而且連續函式必存在原函式。
2樓：「已登出」
【不可積例子】
可積是有條件的,不可積是有例項的,
最著名的就是狄利克雷函式,有理數取1,無理數取0這個函式就不是黎曼可積的,因為你無論取什麼劃分,每個小區間裡都有無理數,有理數分點,
如果全取有理數分點,則積分為1,如果全取無理數分點,則積分為0,產生矛盾,所以不是黎曼可積
(在實變函式裡面可以知道,它勒貝格可積,積分為0)
3樓：涉世未深
你可以這樣想，連續函式，無論有沒有導數，但是它都具有極限，也就是對於每乙個x它都具有唯一的y與其對應，這就代表他在某個區間上一定是某個函式的導數，所以他一定具有原函式。
4樓：陸zz
y=xsin（1/x）在【0，1】 黎曼可積，有原函式。
證：由於x趨於0，y有極限0，故y可視為【0，1】上的連續函式當然黎曼可積，當然有原函式
看見這種同類問題較多，不妨總結一下。
1.黎曼可積性
有界閉區間[a,b]上函式黎曼可積的充分必要條件是函式有界，且幾乎處處連續（不連續點集為Lebesgue零測集）
一般的n元函式的黎曼可積性要借助Jordan可測集的概念。
上集合被稱為Jordan可測集，如果有界且為Lebesgue零測集.
對E上函式f(x),對E任何乙個Jordan劃分
（即E劃分為有限個兩兩互不重疊（即兩兩相交為Lebesgue零測集）的Jordan可測集，Jordan劃分的長度用的直徑最大者表示）
任取記，為Lebesgue測度
此時f在E上黎曼可積是指：
存在，其值記為f在E上的Riemann積分.
同樣可以證明，Jordan可測集E上的有界函式f黎曼可積的充分必要條件是f在E上的不連續點集為Lebesgue零測集
注意可能存在無界的E上黎曼可積函式，不過E性質較好時不存在。
如在假定E和任一以E中點為中心的半徑任意的球的交集都有Lebesgue正測度時（如E為開集）時，f在E上黎曼可積的必要條件是其有界，故充要條件為f有界，且幾乎處處連續
而無界集上Riemann積分，定義常用有界集上的黎曼積分去逼近取極限得到。
2.原函式
注：我們談論乙個有界閉區間的函式的在端點處的導數時，指的是對應的單側導數。
原函式的定義為：
已知函式f(x)是乙個定義在某區間的函式，如果存在可導函式F(x)，使得在該區間內的任一點都有
dF(x)=f(x)dx，
則在該區間內就稱函式F(x)為函式f(x)的原函式。
對於有界閉區間[a,b]上連續函式，令，則其處處可導，為f(x)的原函式
一般地，怎樣的f(x)在[a,b]上有原函式的問題不定，是乙個open problem.
因為原函式的要求太強了，舉個例子
,均連續，只要,
f在[-1,1]上就沒有原函式，儘管它只有乙個間斷點，且在[-1,1]上黎曼可積
也就是黎曼可積或者間斷點有限推不出f一定有原函式=0,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x=0" eeimg="1"/>，
f在(-1,1)處有原函式F，但當
時，故f在0處不連續，而且無界，不可能Riemann可積！
②f有原函式的乙個常見的必要條件：
f一定具有介值性，即對c,d∈（a，b），f一定能取到介於f（c），f（d）中的一切值。
這是因為數學分析中的Darboux定理：
若函式g(x)在包含[a,b]的乙個開區間上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
然後對於F(x)使用即可。
形象地來說，f的影象不能突然跳躍（不能有第一類間斷點）
這就否決了一大堆函式的原函式的存在性,如
其值在0處突然有跳躍，故不可能有原函式
③可以描述性的看出，乙個函式f如果有原函式，那麼其應該與連續函式很」相近」，
上面表明f有連續函式的介值性，但其究竟有「多麼」連續？上面給出了乙個反例，表明其可以有不連續點，但是看來我們只給出了乙個有且僅有乙個不連續點的f，事實上，有原函式的函式可以更病態：
如,在0處的值定義為0
不難驗證其在R上可導（0處請用定義驗證！），
其導數記為f(x)，但是f在0處不連續，但在0附近有界
我們取,為[0,1]上所有有理數，Y定義域為(-1,1)
則由F(x)在(-2,2)有界，這個級數一致收斂，又由於F(x)連續，故Y(x)連續
兩邊求導（利用f(x)在(-2,2)有界，導函式級數也一致收斂，不難驗證交換求和與求導其可行性）
,所以Y『(x)有原函式Y(x)
但是由f在0處不連續，我們知道Y'(x)在[0,1]上所有有理數處均不連續，這是有原函式的函式有可數個不連續點的例子。④其實
乙個函式有原函式的必要條件就是乙個函式能夠成為另乙個函式的導數的必要條件，也就是乙個任意函式的導數的性質
f如果有原函式，其也總會有一定的性質，比如處處不連續就做不到。
如在存在導函式每一點都不連續的函式嗎？ - 數學這個問題中，有很多不錯的答案
稍微翻譯一下，就是：
如果f(x)在[a,b]上有原函式，那麼其不連續點集一定是第一綱集，也就是說其不連續點集是可數個無處稠密集的並集
（無處稠密集E的定義即其閉包沒有內點，也就是）
反過來如果給定任何乙個無處稠密的閉集E，存在一g(x)有原函式，但是g(x)的不連續點就是這個第一綱集（見《實分析中的反例》（汪林））
我們可以取E為有正lebesgue測度的集合，從而也可以得到有正測度多的不連續點的有原函式的函式，這就更病態了。
不過第一綱集的餘集一定稠密（見實分析），於是f的連續點集一定為稠密的
⑤回憶實分析中的乙個結論，定義在開集上的函式的連續點集一定是可數個開集的交(集)
如果把[a,b]換成(a,b)，我們可以得到f(x)的連續點集為稠密的集，不連續點集為第一綱的集(可數個閉集的並)
仿照上面的證明，我們可以對任何乙個(a,b)中第一綱的集構造出乙個連續函式f，f的不連續集恰為這個集合。
因此這個結論是最優的。
⑥從可測性等角度來看，如果f(x)有原函式F(x)
由於為連續函式的極限
故f(x)也是Lebesgue可測的
但是不一定Lebesgue可積（如上面舉的，f(x)都無界了）
注：事實上，有這麼兩個事實：
一些高度病態的函式，也可以有原函式；
一些高度病態的函式，其可以是Riemann不可積的，但其有原函式。
所以尋找一般函式有沒有原函式的判定是很困難的。（至少在我僅有的大學知識來看，還沒見到乙個實變中較廣的判定）
總結一下：
為R上一有界區間上的函式，那麼
——微積分知識層面——
如果連續，那麼f(x)一定有原函式
如果Riemann可積，也不一定有原函式
如果無界，也不一定沒有原函式
如果只有有限個間斷點，也不一定有原函式
如果有原函式，那麼其一定具有介值性
——實分析知識層面——
如果有原函式，其不連續點集一定為第一綱的，其連續點集一定在區間內稠密
特別地，如果有原函式，不能處處不連續。特別地，Dirchlet函式沒有原函式
如果在上有原函式，那麼其不連續點集一定為第一綱的集(可數個閉集的並)；
任何乙個(a,b)中第一綱的集E，存在乙個(a,b)上的函式，的不連續點集恰為這個集合E。
如果有原函式，其一定是Lebesgue可測的，但是不一定Lebesgue可積
3.原函式的定義放寬
現代觀點來看，我們大多考慮Lebesgue積分，其大多性質好於Riemann積分
由於Lebesgue零測集對Lebesgue積分和可測性都沒有貢獻
於是我們考慮幾乎處處成立的概念：
性質P幾乎處處成立是指，在考慮範圍內不成立的點集為Lebesgue零測集
原函式的定義如果放寬為：
已知函式是乙個定義在某區間的函式，如果存在幾乎處處可導函式，
使得在區間上幾乎處處有
這個時候有乙個較好的判定條件：
如果在上Lebesgue可積(當然蘊含Riemann可積的情況)，那麼令
(Lebesgue積分)
則幾乎處處有:
並且在上絕對連續(absolutely continuous，簡稱AC)
這個條件是Lebesgue積分定理(G.B.Folland - Real Analysis Page 106)的一部分：
為的函式，m為Lebesgue測度
則下三條等價：
在上 AC
,對某在上幾乎處處可導,並且
最後，至於想繼續深究的，可以學習測度論相關知識,
了解一下Henstock–Kurzweil integral，
正如 @森林 所說，有乙個更細的充分條件：
HK可積+平均連續原函式存在
5樓：森林
有界且幾乎處處連續(對這題是處處連續)從而黎曼可積，從而HK可積，連續性又推出平均連續性，HK可積+平均連續=存在原函式。
乙個可積函式乘以乙個可積函式是否還是可積函式？
香草 黎曼可積充要條件是不連續點是零測集，所以黎曼情況下沒問題。如果是L可積，有反例，定義在 0，1 的 1 x 這個函式平方L不可積。 dhchen 如果是閉區間上的黎曼可積函式，那麼兩個相乘的確是可積的。這一點在一般的書上都有，比如rudin的那本 數學分析原理 上就有。如果是勒貝格可積 或者說...
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