1樓：香草
黎曼可積充要條件是不連續點是零測集，所以黎曼情況下沒問題。
如果是L可積，有反例，定義在（0，1）的（1/√x），這個函式平方L不可積。
2樓：dhchen
如果是閉區間上的黎曼可積函式，那麼兩個相乘的確是可積的。這一點在一般的書上都有，比如rudin的那本《數學分析原理》上就有。
如果是勒貝格可積（或者說一般測度空間上的積分），也就是我們定義 才算可積，那就不一定了。否則我們就不需要Holder's inequality. 乙個簡單的例子就是 .
這個時候，我們發現 .
我們一般估計兩個函式（勒貝格）積分的方法是 .
其中 . 這個式子也能直接用來證明黎曼可積的兩個函式想乘也是黎曼可積的。因為（閉區間上）黎曼可積的函式一定有界(也一定勒貝格可積)。
這裡不要和一般的瑕積分（廣義積分）相混淆，因此 . 另一方，乙個有界函式在閉區間上黎曼可積當且僅當其幾乎處處連續。這樣，你也可以保證 也是黎曼可積的。
.然後你注意到加減和二階乘都不會改變可測（黎曼可積）性，於是可得最終結果。
還有一種「可積」把積分值等於無窮也算進來。
如何判斷乙個函式是否黎曼可積以及是否有原函式？
何門 首先你這個函式一定是黎曼不可積的，黎曼可積要求在閉區間上有定義，你這個函式在0處無定義怎麼積。如果補充定義f x 0當x 0時，那麼是可積的，連續函式必可積。而且連續函式必存在原函式。 已登出 不可積例子 可積是有條件的,不可積是有例項的,最著名的就是狄利克雷函式,有理數取1,無理數取0這個函...
乙個函式存在可去間斷點沒有原函式，但存在可去間斷時有變上限積分，且變上限積分可導。矛盾嗎？
yynzhenshuai 22考研黨，今天剛好也想到了這個問題，原函式和變限積分就沒有關係 不定積分存在定理 可以證明含可去間斷點，跳躍間斷點，無窮間斷點的f x 在含這些間斷點的區間上沒有原函式，證明如下 1 通過導數介值定理，f x 只要能取到兩個值，就能取到這兩個值之間的任意值，所以f x 裡...
可積與存在原函式有什麼不同，它們的條件各是什麼？
onlyme 可積和原函式存在完全兩個概念。可積但原函式不一定存在，原函式存在不一定可積，二者沒有必然關係。可積的充分條件 函式有界 在該區間上連續 有有限個間斷點。如果f x 在 a,b 上的定積分存在，我們就說f x 在 a,b 上可積。原函式存在的充分條件 若f x 在 a,b 上連續,則必存...