1樓：
有理函式的導數都是有理函式，所以這個問題就是：給定乙個有理函式 ，其中 為多項式，如何判斷它的不定積分是不是有理函式。
一般微積分課上講的方法是用部分分式展開：找到分母 的每個根，然後作部分分式展開，再對每一項進行積分，對於重數比較高的重根有乙個遞推公式計算其不定積分。
但這種方法的問題是不好實現。一元五次以上的方程沒有一般根式解，所以很難表示出分母的每個根；即使能表示出來，也很難對其進行運算。比如等式 的正確性是很難看出來的。
這樣，就需要下面的演算法來判斷乙個有理函式的不定積分是否是有理函式。首先，我們要把多項式 分解為無平方因子的多項式的乘積： 。
這個分解可以如下計算：顯然有 ，所以 ，可得 ，這樣 。對 遞迴執行這方法即可依次算出 。
下面，可以用多項式除法從 裡去掉乙個多項式，使得剩下的有理函式滿足 、 。如果 ，那麼 本身就是無平方因子的多項式，由部分分式展開， 的不定積分就是一些對數函式之和，不是有理函式。下面假設 。
設 ，那麼 ，所以可以用擴充套件Euclid演算法找兩個多項式 使得 ，其中 。這等價於 。這樣我們就從 中分離出了乙個有理函式的導數，剩下 還未處理。
遞迴使用這個方法不斷降低分母的次數，就能把 的不定積分中有理函式的部分去掉。如果到最後還有乙個分母是無平方因子多項式的有理函式，它的不定積分就不是有理函式，否則，我們已經成功求出了 的有理函式不定積分。
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