1樓：
甚至可以要求這個函式光滑，也就是無窮次可導。
因為存在緊支集上的光滑函式，它在有限閉區間以外的地方恒為0，在從0到非0的銜接部分足夠光滑。（而且不是恆0這種平凡的）
這樣的話，在整個開集上都是零點。
（當然解析可能不行，因為恆0滿足要求，如果f也滿足要求，則兩者在不可數集上相等，可以推出兩者處處相等）
初等函式給我們留下的印象有時一點也不可靠。
2樓：水之蘭佩
我們可以利用康托集來構造這樣的函式。
第一步，考慮 上的如下定義的連續函式，它在 取值為 ，在 點處取值為 ，在 使得函式影象是小山那樣的兩條線段。
第二步，分別把 和 三等分，每一段前後兩個等分為 ，中間的等分和第一步類似，是個小山，但是高度變成 ,
後面類似，考慮這個函式列的極限，它連續，並且零點是康托集。
3樓：nnnn123456789
首先，對於任何乙個閉集，其補集是開集，即若干不交開區間的並，進而可以在開區間上定義形狀如"/\"的函式。
所以對任意乙個閉集，可以定義這樣乙個連續函式，函式的零點所組成的集合恰好是這個閉集。
而反之，連續函式的零點一定是閉集。
所以這道題劃歸為，能不能構造乙個不可數的閉集？
答案是顯然的。
進一步的，給題主乙個思考題。
這樣的閉集，可否同時使得其補集稠密(以防f(x)=0之類的平凡解，其零點集合是全體實數)？
4樓：小澤1019
恒為零不就行麼，如果你再加上不能恒為零，那連續還是太簡單了，就算要求光滑也是很容易的。
再進一步，你想要它的零點集是乙個不包含區間的不可數集，那由連續延拓定理從Cantor集上延拓出去就行了，再進一步要求光滑，可以用光滑單位分解。
不過如果你要求不恒為零的解析函式，那就不存在了，因為解析函式具有唯一性。
能不能不用選擇公理構造乙個不可測集合？
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