1樓：
我來補充一下問題，如果f（x）沒有說一定連續，只是說是在R到R的函式並且滿足f（a+b）=f（a）+f（b），那麼有沒有機會出現除了正比例函式以外的其他的特殊情況，一下子想不出來
2樓：雪上一支蒿
對的，剛學完數分一的辣雞可以回答了。
顯然只需考慮正數情況
由數學歸納法易得f(nx)=nf(x)(n屬於正整數）,進而可以得到f(x/n)=f(x)/n,f(m/n*x)=m/n*f(x)。取x=1,得到有理情況, f(x)=f(1)x
下面考慮無理數情況，由於任何乙個無理數都可以由乙個有理數列去逼近，而且此函式連續，所以有理數q n趨於x0時,f(q n)趨於f(x0)
所以f(lim q n)=f(x0)=lim f(q n)，得到f(x)=f(1)x。
綜上可證。
3樓：劉子越
題主改題了。我就不改答案了，詳情可見問題日誌。
我回答的是這個問題：定義域在實數上的連續函式f（x），滿足對任意的兩實數a，b，有f（ab）＝f（a）f（b），求f（x）的表示式。
答主高二數競狗乙隻。閒的無聊做了一遍這個題。柯西方法的部分就略去了。
顯然x的平方這個函式也滿足題目要求，所以我覺得這個解答沒什麼問題@敬子@趙校長 別看答案來練題啦！
補充：柯西方法（反正閒著也是閒著）
給定不連續函式f x ，如何判斷能否構造連續函式列f n x ，使其逐點收斂到f x 上？
dhchen 不可以，因為乙個函式如果它恰好是一列連續函式的極限，你們這個函式的不連續點必須是第一綱的，也就是說你只要構造乙個函式，它的不連續點構成的集合不是第一綱的就好。比如，狄利克雷函式，但是狄利克雷函式可以表示成連續函式列的二重序列極限，也就是 所以，第二個問題就是不是所有的函式都是連續函式的...
連續函式f x ，在區間 a,b 有f a f b ，如何證明f x 一定存在遞增區間？
我聽古人說，有乙個叫牛頓的聖人，他認為連續函式除了可數點外沒有不是可導的。後來有名叫柯西和拉格朗日的聖人也是這麼認為的。然而，再後來又出現了一位名叫魏爾斯特拉斯的聖人，他發現先前牛頓等聖人的結論是錯誤的。他提出了魏爾斯特拉斯來反駁這一點。魏爾斯特拉斯函式是一種在實數集上沒有乙個地方不是連續的函式，卻...
若連續函式在有理點函式值為0，則函式恒為0。這個題目怎麼證明？
予一人 很顯然，這只需要再證得函式值在無理點處也為零就夠了。為此，任取無理數 總能求得乙個有理序列 於是依函式的連續性，有 即證。 1.任何乙個實數都可以寫成乙個有理數列的極限2.有理數列的函式值當然趨於0 3.根據函式極限與數列極限的關係，可得函式的極限與該數列極限相同4.根據函式的連續性，任何點...