1樓：予一人
很顯然，這只需要再證得函式值在無理點處也為零就夠了。
為此，任取無理數 總能求得乙個有理序列 於是依函式的連續性，有 即證。
2樓：
1.任何乙個實數都可以寫成乙個有理數列的極限2.有理數列的函式值當然趨於0
3.根據函式極限與數列極限的關係，可得函式的極限與該數列極限相同4.根據函式的連續性，任何點的函式值都是有理數列函式值的極限，所以都是0
3樓：sumeragi693
這是乙個一般性的結論：設 是 中的稠密子集，且 是 中的連續實值函式。若 恆成立，那麼 也恆成立。
類似復變函式中的結論：設 是區域 內的解析函式，且區域 。若 在 內恒為0，則在 內也恒為0。這叫解析函式的惟一性定理，或者也叫零點的孤立性。
實函式和復變函式證明思路類似，是構造乙個點列去逼近函式值。先說說稠密的定義，設 是 的子集，如果 ，則稱 在 中稠密。
根據這個定義可以推出稠密的乙個性質：若 在 中稠密，則 ，使得 。也就是說 中任意乙個點都可以被 中的點列逼近。
任取 中的一點 ，根據上述性質，集合 中存在乙個點列 使得 。而因為 在 中連續，所以根據歸結原則， 。
又因為 ，且 恆成立，所以 ，即數列 為常數列，因此 。
根據 的任意性可知， 恆成立。
為什麼不存在乙個連續函式，其值在有理數處是無理數，在無理數處是有理數？
牛博 簡單看乙個有界的連續函式，就是您隨便畫一條連續的線，然後截一段。假設它把 a,b 對映到了 c,d 即每乙個 a,b 中的元素都能找到對應的值。現在，把它離散化一下，假設就有 10 個點，3 個有理點，7 個無理點 無理數比有理數多得多，不嚴格模擬 同樣，被映到的地方也是3 個有理點，7 個無...
連續函式f x ,滿足f a b f a f b ,f x 是否一定為正比例函式？
我來補充一下問題，如果f x 沒有說一定連續，只是說是在R到R的函式並且滿足f a b f a f b 那麼有沒有機會出現除了正比例函式以外的其他的特殊情況，一下子想不出來 雪上一支蒿 對的，剛學完數分一的辣雞可以回答了。顯然只需考慮正數情況 由數學歸納法易得f nx nf x n屬於正整數 進而可...
給定不連續函式f x ，如何判斷能否構造連續函式列f n x ，使其逐點收斂到f x 上？
dhchen 不可以，因為乙個函式如果它恰好是一列連續函式的極限，你們這個函式的不連續點必須是第一綱的，也就是說你只要構造乙個函式，它的不連續點構成的集合不是第一綱的就好。比如，狄利克雷函式，但是狄利克雷函式可以表示成連續函式列的二重序列極限，也就是 所以，第二個問題就是不是所有的函式都是連續函式的...