1樓：tetradecane
描述得嚴謹一點：函式 在區間 上的有符號曲邊梯形的面積是 的乙個原函式。
為什麼有符號曲邊梯形的面積是 我就不多解釋了，把它切成豎直的細條條，取極限即可。
記 ，考慮當x從 處增加一小量時的情況，如圖1所示：
圖1長方形面積有 ，而 恰是 的增量 ，那麼取極限之後上式能取到等號。
對於一塊曲邊梯形的面積，依然是切成豎直的細條條，如圖2所示：
圖2這樣就能理解牛頓萊布尼茨公式 是為何了。老圖：
2樓：Kushim Jiang
前面說過，對於 ，已知 求 的過程叫做求導，那麼已知 求 的過程便是求積分，稱為 的乙個原函式，記作 。
注意到 ，則 ，定 。這樣對任意函式總有 ，對任意常數項為 0 的函式還有 。比如對於 ，。而對於 ，。
接下來我們用它來解決兩個問題。
第一，找出符合 的所有 。由於 ，容易得知所有的 便可寫為 ，記作 ，稱為 的不定積分。這樣，依據前一章末尾的總結，便有：
這樣，求導數的列表和求不定積分的列表便有了完美的一一對應關係。
第二，為了解決常數項不為 0 的情況，我們可以通過作差使其轉為常數為 0 的函式。考慮乙個常數項不為 0 的 ，其中 的常數項為 0，為常數項，則有：
另外，這便是 Newton-Leibniz 公式，它的幾何意義是，乙個函式的所有原函式具有平移不變性。我們把 簡記為 ，稱為 從 到 的定積分。稱為積分下限，稱為積分上限。
——《從運算元開始的微積分第三章積分》（未出版）
3樓：Rabbyt
數學不好，講講歷史
這大概要從牛頓和萊布尼茲說起
牛頓是早期喜歡搞物理，發現對位移求導是速度，對速度求導是加速度。
然後他搞數學也這樣幹，對面積(曲線與x軸圍成的面積)求導，然後發現求出的是那條曲線。
所以，牛頓得出結論，面積的導數是曲線，曲線的原函式是面積。
即微積分第一基本定律：
但牛頓在求導過程中使用了無窮小量這一概念，是極其不嚴謹的，也導致了後來的第二次數學危機，後來人們基於極限重建了微積分學。牛頓的微積分也叫古典微積分，要是牛頓晚期沒跑去研究神學，說不定能制止第二次數學危機呢。
最後附上附贈表情包
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