1樓：予一人
首先我想澄清乙個事實：用等分區間的特殊辦法做成的積分和極限並不能視為定積分的定義。請回顧定積分的定義，在那個定義中，是要求對區間任意地分割取近似、作和求極限，結果都要存在且相等，這裡分點 的插入是任意的，同時 的選取也是任意的。
由此可見，僅僅求出取特定(specific) 所得的積分和極限，並不能說明這就是定積分，甚至都不足以表明定積分的存在性。
當然，如果定積分存在（這是不能用等分區間這樣的特殊辦法證得的），每種情形下積分和極限作為乙個具體特例，當然就等於定積分了。我們下面要解決的問題，就是在假定該定積分存在的情況下進行處理的。
設若要求 在 上插入 個分點 即
以將區間 等分，則每段區間長度均為 第 個分點為 取每個區間右端點為 作積分和，就得
於是有其中，利用了三角公式
至於末尾這個三角公式，證法有很多，比如，可以將每一項都乘上 再用積化和差公式展開，求和後除了首尾兩項之外，中間的都前後相消了。
這裡我想給出一種利用複數的做法。構作複數 則 於是
注意到由實部對應相等，即得
如果你願意將右邊兩項用積化和差再做一次，就可以進一步變形為我前面給出的那個形式。
如何理解定積分原始定義中的極限符號？
無燼 最近在重新學微積分就來強答一下 課本上寫得模稜兩可樓上解釋感覺也很高深的樣子其實很好理解上面是一開始對y x 2這個函式在0到b求積分過程的證明為了有 極限 的思想我們假設把0到b這段長度分為n等份每份長度是b n 雖然圖上看著比實際面積大但是分成n等份當n趨於 的時候誤差就幾乎為0了然後就是...
如何用數學軟體視覺化旋轉體體積（定積分）？
剛好我最近寫了一篇用Geogebra繪製旋轉曲面的文章，https zhuanlan p 58920004 完成的任意乙個yOz面上曲線F y,z 繞z軸旋轉的曲面，也可以推廣到更一般情形。 Terrence Pan 本來不打算回答的，但想到這個問題對於初學者來說比較重要，所以就給兩個比較實用的方案...
如何計算這個困難的積分
虛調子 作為其他答主的補充 若已知 則自然有 定義 則 同時我們知道.1 right eeimg 1 初值 對 兩邊求n 1階導 於是有遞推式 令 則其中 表示從 到 的 個元素組成的方陣。例子 TravorLZH 利用Beta函式和Gamma函式的性質，可知 1 取對數，得 求導，得 令s 0，可...