1樓：貓科虎瑞川
本文將用簡潔的語言，利用萬有引力定律 來證明克卜勒第一定律。
即每一行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的乙個焦點上。
證明思路：使用極座標，證明出行星圍繞太陽的軌跡為橢圓對於運動的行星和太陽作為整體，角動量守恆，即又根據牛頓第二定律運動的天體會存在兩個加速度，徑向加速度為聯立角動量守恆和牛頓第二定律這兩條式子
消去 得到 接下來，我們的目標就是解出這個關於 的二階微分方程。
我們令 ，那麼 ，因此
(這裡是因為 )
所以我們可以把 也表示出來，即
因為 再求一次導，得到
再把 帶入原微分方程，整理得：
這個形式就比較好解了，令 ，即
所以 , ，再換回A，得
最後換回到 ,得
整理後得到 ,其中C'也為常數，此形式即為橢圓的極座標方程 的形式，證畢。
2樓：更高的天空
上面各位已經推導過了，我補充乙個可能題主忽略的物理事實。
就是題主你想通過萬有引力定律推導克卜勒第一定律是沒有多大意義的，可以鍛鍊下數學技巧，
因為萬有引力定律是牛頓基於克卜勒第二和第一定律結合牛頓第二運動定律，假定疊加原理（兩個太陽的作用是乙個太陽的兩倍），推導得來。
他認為行星運動軌道的焦點應該在產生引力中心的太陽上，並進而斷定火星運動的線速度不是勻速的，近太陽時快些，遠太陽時慢些並得出結論：太陽至火星的直徑在一天內掃過的面積是相等的。克卜勒把這結論推廣到其他行星上，結果也是與觀測資料相符。
就這樣，他首先得到了行星執行的等面積定律。隨後他發現火星執行的軌道不是正圓，而是焦點位於太陽上的橢圓，他把這結論應用於其他行星也是適用的。於是他又得到了行星執行的橢圓軌道定律。
3樓：李剛
《天體力學與天體動力學》講得很細，而且感覺向量分析比微積分更6由牛頓第二定律與萬有引力公式，經過座標系變換可得此公式無論在慣性系，質心系還是相對運動的座標系中都成立，只是的表示式不同
然後見證奇蹟的時候
面積積分
積分標量形式
duang, 角動量守恆，克卜勒第二定律
duang, 軌道平面不變
拉普拉斯積分
積分點乘
設duang, 橢圓軌道，克卜勒第一定律
定義活力積分
積分為確定常數C，可以取軌道上近星點處，，duang,能量守恆，動能加勢能等於總機械能橢圓運動的克卜勒方程
對於橢圓運動，h等於橢圓面積除以一周的時間乘二倍，即唉，一不小心推導出了克卜勒第三定律，慚愧慚愧在極座標中，，所以，帶入和活力公式，有
開個根號，做變數帶換移項積分
這個叫克卜勒公式，用這個公式就可以算出任意時間t時刻的r了。
小小回顧一下，我們得出了六個積分常數，中可以得到公升交點角距，傾角，向量中得到偏心率和近星點角距，中得到了半長徑，克卜勒公式中得到了近星點時刻
，二階的三維向量的微分方程，六個常數，完善解決。
4樓：
先證明克卜勒第二定律:相同時間內行星和太陽連線掃過的面積相同(角動量守恆的推論)
運動方程
再由機械能守恆和角動量守恆
構造Runge-Lenz向量
其中於是
利用角動量定義
將向量轉換為標量就得到
可以化為圓錐曲線方程
QED最後是克卜勒第三定律:行星繞行的軌道週期的平方和半長軸的三次方成正比
得到關係式代入得到
QED最後吐槽知乎的公式編輯,加了向量符號之後變得巨難看無比.
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