1樓：不會數學的小滑稽
由於能量守恆，對半徑為R的球面，引力場的通量恆定，故引力反比於R。由於引力場是立場，故引力正比於M/R，故引力公式為F正比於M1M2/R
對靜電場是一樣的
2樓：養正道人
佛教有個詞語叫「不可思議」
意思是什麼，不是不能夠想象，也不是不能夠思考、議論。
而是說，佛教追求的那個境界，就是法性真如或者阿耨多羅三藐三菩提心，是不能夠用俗世間普通的想象和議論能夠認識到，因而說不可思議。
所以挺多人也用高中知識推導出來了，我的意思是，嚴格意義上並不能。
這是高中物理的乙個特點，告訴你是什麼的時候多，為什麼的時候少，這讓有些頭腦比較靈光比如題主這樣的求知青年大為惱火。我前兩天覆習高中教師資格證的時候，我就感覺到：高中有些東西，真的掌握一點高等數學後，能夠理解的更好。
而且哪怕到了現在，很多東西，我也是秉承著先接受，後思辨的態度。看起來有些「迷信」，但是物理不是說一定要你想的通或者我說的通才對，而且實驗做出來符合就是對。
如果一定要自己想的通，能證明，實驗就是證明，否則以我這點智力一輩子也不夠學十個公式。
而且並且你知道物理雖然也是科學的嚴謹的，也是實用的現實的，有的時候為了他好用，並不要結論或過程那麼非常的「正確」，比如說以題主的求知心一定了解過廣義相對論，那就會知道萬有引力定律也是一種「近似」，只不過百分之九十八的時候它都好用。
並且話說回來了，我有印象高三的時候講過一些初步的微積分，其實那些就足夠了，再花乙個小時的時間了解角動量，不就成了嗎，何苦要尺規作圖呢？
3樓：小鳥遊kyun
代表位置向量 對時間 的導數。
最通俗易懂的方式就是用數學進行推導，沒有之一。在萬有引力定律被發現之前，世間普遍認為克卜勒三定律是對的。因此，我們可以從克卜勒三定律出發對「萬有引力」是乙個平方反比力進行推導。
首先，在極座標當中，我們取 。通過簡單的計算我們可以算出:
因此， 。
代入牛頓第二定律—— ，其中 。
克卜勒第二定律告訴我們，面積定律行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積。也就是說， 注意到 ,所以
可以直接得出：
下面我們來分析 長什麼樣子。
克卜勒第一定律告訴我們，行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的乙個焦點上。
根據橢圓的極座標公式: 。此處的
由於 ， .
同理, 。
,將其中的 用 進行替換。
可以得到:
。將之前匯出的 代入，就可以算出：
.推導過程除了極座標的基矢求導之外,其他的知識應該不超過高中數學大綱。為了規避角動量 的使用，這裡統一用面積速度守恆來進行計算。
4樓：千里燈火夢
在學必修二的天體運動之前，已經學過圓周運動的公式和克卜勒一二三定律。而且這個高中人教版必修二萬有引力定律這一章節有簡單的推導，建議你翻翻書，如果不想翻書，既然刷到這了，咱就在回顧一下。
①克卜勒第一定律（軌道定律）：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的乙個焦點上。（在推導萬有引力過程中，我們把橢圓看成圓，太陽則在圓心上）。
克卜勒第二定律（面積定律）：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積（行星的運動軌跡看成圓周之後，則第二定律就確定了這個圓周運動是勻速圓周）。
克卜勒第三定律（週期定律）：所有行星繞太陽一周的恆星時間（T）的平方與它們軌道長半軸(a)的立方成比例，即
②行星運動過程是勻速圓周運動，則有行星與太陽之間的力等於向心力Fn=mV^2/R, V=2πR/T
得到Fn=4π^2×mR/T^2
而不同行星公轉週期是不一樣的，但是半徑的三次方比上週期的平方跟恆星有關，而且是乙個常量k（週期定律：R^3/T^2=k）也就是T^2=R^3/k，帶入Fn得
F=Fn=(4π^2×k)m/R^2，括號裡面的是常量，也就是說引力F正比於m/R^2。
③相對運動：太陽是恆星，行星繞著太陽公轉過程，相當於太陽為參照物靜止，行星在以太陽為圓心做勻速圓周運動；那我們要是以該行星為參照物靜止，太陽在以該行星為圓心做圓周運動。同②過程，推導出來引力F正比於M/R^2。
④整合出來引力F正比於m/R^2，F正比於M/R^2；即引力F正比於mM/R^2，即F=GmM/R^2，係數G是常量，卡文迪許在2023年測出引力常量G，通常取G=6.67×10-11N·m/kg。
5樓：「已登出」
高中生一枚～ 基於上面物競同黨滴過程包含一些競賽小知識我再回答一下下這個同學的過程可以簡化一下下靈感出自舒幼生先生
最簡證法（嚴謹性不敢苟同）如果想要用高中理解首先要知道行星運動是圓錐曲線這裡採用了橢圓來證明要證明第三個式子也就是 vr（本質是乘了m的角動量）守恆可以用克卜勒定律證一下但是這種證明必定是不嚴謹的
不嚴謹之處還是很多的正確推倒還是要參照頂層
6樓：我好菜啊
我來用一種簡單的方式從已知條件推導一下萬有引力定律
引入乙個變換，使所有座標變為原來的 倍，時間變成原來的 倍：
, (這相當於對於同一條軌道重新選擇座標和時間的度量單位，也可以看作是變換到另外一條幾何形狀相同大小不同（相似）的軌道上)
假設萬有引力的勢能 有這樣的形式：
(C 為一常數)
變換以後
因為動能 正比於速度 的平方，也就是 ,變換以後
變換單位前後總能量的實際大小不變，只是單位變了。這可以看作在原來的能量前面乘上乙個常數
因此動能之前乘上的常數和勢能之前乘上的常數相等，即：
所以 也就是
通過天文觀測我們知道了克卜勒第三定律，即週期的平方與軌道尺寸的立方成正比（與軌道無關）。前面說過，這個變換也可以看作是變換到另外一條幾何形狀相同大小不同的軌道上，即
比較指數，得到 ,即引力勢能與 的-1次方成正比
求導可得，引力與 的-2次方成正比，即萬有引力定律
（這個推導是從力學相似性反推得到的。力學相似性可以參考一下朗道力學第二章）
（剛剛才看到有答主已經講到過力學相似性了。那我這個就算是用通俗的方式講一下吧）
注：這個單位變換是特殊的，在變換的時候假定了能量實際大小不變（當然了，對於這種特殊的變換，對於相應的另一條軌道克卜勒第三定律還是成立的）。既然題主是高中生（By the way 我也是高中生），要求不能提到拉格朗日力學（用拉格朗日力學解釋的話是拉格朗日量乘以乙個常數運動方程不變），我只能這麼解釋了。
我太菜了，還請各位大佬勿噴
7樓：基基
可以用克卜勒第三定律的數學表示式來通過代換得到萬有引力公式。但好像開三的表示式是用萬有引力推導的。不過對於理解萬有引力有幫助。
8樓：sailing
推薦費曼先生的方法！純幾何解法從克卜勒三定律推到平方反比定律（橢圓軌道，不用任何微積分），高中水平完全可以理解，就是幾何很複雜，看懂大概需要半個小時。第一次看時真的驚呆了！
為男神獻上我的膝蓋！
也安利一下3Blue1Brown頻道。
【官方雙語】費曼失傳的演講_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili
9樓：家蒙政
我認為不能。
萬有引力定律是對實驗結果的總結，而不是對已有概念的推導。
即便你可以從某些只是似是而非的推導出來，
事實上往往是那個前面的結論在不自覺的引用這個萬有引力定律，即迴圈論證。
10樓：自行加聚
看到某些回答用到了拉格朗日力學和角動量，明顯引起了一些高中生的不滿。所以這乙個答案盡量少地使用了超綱知識。而高中生可能看不懂的部分，我都會放進灰色塊中，如果不感興趣可以跳過，不影響正常推導。
當然，這部分也寫得盡可能簡單了。
我們將從克卜勒定律一路推導到萬有引力定律。
首先我們需要翻譯克卜勒定律：
克卜勒第一定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的乙個焦點上。
翻譯為現代數學語言：行星的軌道為
克卜勒第二定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積。
翻譯成現代數學語言：
考慮乙個無限小時間間隔 內，行星走過的極角為 ，行星的極徑為 ，則行星和太陽連線掃過的面積為 （三角形面積公式）。則單位時間內行星和太陽連線掃過的面積為 ，用求導點記法記作 。克卜勒第二定律意味著單位時間內行星和太陽連線掃過的面積為常數，即 ， 為常數。
根據以上定律，可以開始推導萬有引力定律。
行星在軌道上的總能量：
與高中物理的習慣不同，在現代物理中一般用 表示勢能。
首先我們必須承認
如果你無法承認，那很有必要重新翻閱一下高中數學。
所以現在的首要問題是確定 的形式。
在極座標系下，乙個質點的座標寫作
必須承認的是，速度 ，在極座標系下即為 。
應用乘法求導法則，即 。
由幾何關係可得，
則有 於是
用求導點記法，寫作
所以因為 相互正交，且模長均為1，所以
於是這樣一來，
能量中的動能
總能量由克卜勒第二定律，有 ，或寫為 ，將其代入總能量，得到
而 代入原方程（能量），有
根據克卜勒第一定律， ，將其對 求導，得到
將其代入原方程，得到
整理一下，得
又根據克卜勒第一定律， ，代入能量得
整理得在克卜勒軌道（圓錐曲線軌道）上，質點的總能量守恆，於是能量 為常數，又因為軌道離心率 ，軌道半通徑 ，質點質量 ，以及 均為常數，所以勢能的前三項可以記為乙個常數：
按照勢能的定義，
勢能對應的力為 。
這條式子可以這樣理解：
一般地，場力做功等於場勢能的減少量，即
現在考慮乙個無窮小位移 ，上式應當寫為
場力做功為 ，代入上式，得
即為所求。
則太陽對行星的力為
負號代表引力。
根據牛頓第三定律，太陽對行星施加乙個引力，則行星對太陽也要施加乙個引力。所以同樣會有
其中 為太陽質量。
所以引入乙個常數 ，則引力為
如果假定在宇宙中，任意兩個質量之間均會產生引力，則得到萬有引力定律：
11樓：Big Dream
去看牛頓的《自然哲學之數學原理》第一編物體的運動，全是平面幾何。
先簡要介紹一下牛頓的《自然哲學之數學原理》，牛頓認為回歸到古希臘幾何的公理邏輯體系才是最完美的，所以沿用了古幾何的證明方法，以幾條定律和公理證明推導整個經典力學體系。
再說一下牛頓的關鍵性工作：用克卜勒三大定律作為公理反推導萬有引力定律，即平方反比定律。這是同時代的科學家（如胡克，哈雷）做不到的，他們只能由平方反比定律推導克卜勒三大定律。
我認為牛頓更厲害的是將微積分的語言轉化為古希臘的純幾何語言（無微積分，最多用了微積分的一些思想。自己發明微積分還不用，就是我大牛頓）。
考慮到題主是高中生，應該對圓錐曲線的代數運算有所了解。所以，可以先用代數幾何（座標幾何）的方法，證明牛頓《原理》中引用阿波羅尼奧斯的幾個古圓錐曲線幾何的定理，再順著牛頓的論證思路證明。
仔細研讀牛頓和阿波羅尼奧斯的思路，一定有收穫。
萬有引力公式是怎麼推導的？
已登出 克卜勒定律，行星軌道是橢圓。半長軸的三次方比週期的二次方是定值。中學階段視橢圓為圓 則上述公式為 行星軌道是圓，半徑的三次方與週期的二次方的比值是定值，設定值為K。然後就變成勻圓模型。引力 向心力質量乘角速度的平方乘半徑 角速度等於二 除以週期 代入 引力 向心力等於四 的平方乘質量乘半徑除...
牛頓是怎麼推導出萬有引力的？
周京貴 關於萬有引力我很久就有看法的。首先推理幾個知識點！真空兩點建立連線有兩種力 第一種物體運動前平面積，小平面積的在大的平面裡面，是建立大平面積運動支撐面空間內！第二種引力體積，真空兩個物體沒有管道和運動軌道空間面是不可能相互碰撞或者融合的。經過上面推理後，進行回答牛頓萬有引力就簡單了。首先原子...
如何理解萬有引力公式？
劉順強一一用事實說話 萬有引力不堪一擊 萬有引力定律 公式 即 任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟兩個物體的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比 牛頓用謊言與欺騙編織的自欺欺人的萬有引力，不堪一擊。其一，牛頓發現萬有引力的理論基礎不堪一擊。牛頓認為熟透的蘋果受重力的作用而落地，如果蘋果樹...