1樓：好為人師
不止微積分，幾乎所有科學最初的時候，都缺乏嚴謹的邏輯基礎，比如化學，價鍵理論，元素週期表，都遠遠早於對原子結構的了解，但是不影響當時作為已知規律而使用。
2樓：LetterAfterwards
其實你去看牛頓推(x^n)dx的積分公式的時候，那個delta就是相當不嚴謹的，爵爺想讓他不為零就不為零，要他等於零就等於零，老隨便了。只不過在那些比較簡單的情況下，確實好用。
上面的回答說得不錯了，對極限定義的不嚴謹確實是早起微積分的缺陷之一。還有乙個缺陷（應該是那兩個雅各布的時代的問題），當時的數學家們太喜歡把函式展開成無窮級數然後做操作了。那時候大家根本沒有想過展開後級數可能根本沒有一致收斂性，也可能收斂也收斂不到原本的函式。
記得拉格朗日好像嘗試過用級數來定義函式的導數概念。
3樓：憑欄聽潮
這個就可以模擬高中和大學的知識，高中的時候會經常用到微積分，比如在高中時對乙個函式求積分的時候，老師會畫圖告訴你單位x乘函式值，然後將x的值縮小到無限趨近0，乙個個矩形的面積就會等於函式下的面積，按高中生的理解能力是肯定可以接受的，用來做題也沒啥問題。
但這實際上是不夠嚴謹的，怎麼才算【無限趨近0】呢？直到柯西給出了極限的定義，知乎打不了公式，形象的說，就是你定義了乙個無窮小，那麼對於任何乙個數，都能找到比它更小的數，比如x是趨近0的數，但不等於0，那麼你找到任何乙個大於0的數，x都比它小，那x就是無窮趨近0了。
那麼這麼嚴謹有什麼意義嗎？比如有一段時間證明圓周率等於4的那個就提供乙個很好例子，說明數學嚴謹的必要性。為了簡化我們說說這個的變種：
直角三角形兩條直角邊等於第三邊。他們怎麼證呢？首先對乙個直角三角形，斜邊取中點，做兩條直角邊的垂線，得到兩個直角三角形，那麼兩條直角邊長之和等於兩個小直角三角形的直角邊和，然後反覆操作，無窮次操作後，小三角形面積會趨近0，那麼此時直角邊就等於斜邊了。
首先，在不斷的取中點，做垂線分出更小的直角三角形的過程中，直角三角形面積是減小的（為原來總面積1/2），在取無窮次操作後，三角形面積的確趨近為0，因為假設最開始三角形面積是1，那麼你無論想要最終的三角形面積s為多少，只要足夠多這樣的次數n就可以，滿足（1/2＾n)＜s，但問題就在這裡，面積趨近為0，斜邊就和折線邊重合了，所以兩者相等，這是不嚴謹的高中思維，因為你無論分割多少次，那個小三角形還是保持著原來的形狀，兩直角邊之和還是大於第三邊的，如果你要證明在無限分割中直角邊和趨近斜邊長，那麼就要在這個區間內任取乙個值，然後算出分割多少次後得到，顯然這是不可能成立的。
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黃普霖 思路一嘛，直接算吧。思路二嘛 原式 da 1 k cosa 1 4 ksina 即對函式f a 1 1 k cosa 1 4 ksina 求在區間 0，n 區間的定積分，令 a 2b，則函式f a a 2b為復合函式，da 2db，且a 0時，b 0，a 時，b 2。即 f 2b 1 k c...
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