1樓：陳驁
常見的量子化方法一般是從乙個依賴於直覺的薛丁格方程/對易關係出發，數學上處理起來比較簡單，但是一開始的假設會讓人覺得有些迷茫。與之相反，路徑積分數學上很複雜，但是核心思想很簡單，一開始的假設看起來也貌似更有道理一些。
根據最小作用量原理，經典力學中粒子會「自動地」沿著作用量極小的路徑運動。在路徑積分量子化中，假設粒子會沿著所有可能的路徑運動，
其中S是某一路徑對應的作用量。這是乙個帶相位的線性疊加，選擇 作為相位因子可以使得 時只留下經典路徑回到經典的情況。
經典情況下，只有一條路徑，可觀測量有確定的值。但是在路徑積分中，每個不同的路徑對應不同的值，因此可觀測量不再是乙個數，但是可以將其定義拓展為算符（以動量和能量為例）
對於每一條路徑，都有 ，因此
然後就可以把之前動量和能量的算符式子改寫成
也就是 ， 。這樣就有了對易關係 以及演化方程。另外，H的作用還可以寫為
等式的左右兩邊其實就是薛丁格方程
大概寫了一下，不是很嚴謹，要把物理影象講清晰要多打好多字，大家將就看吧。
2樓：zjm
中中國人講不打不相識，要以識乙個人或系統最好的辦法就是去和它相互作用，給系統乙個點源激厲，可以得到全頻段的反饋，從而可以通過反饋反推系統的特徵。
在路經積分中我們在系統某處某時刻放入乙個粒子，相當於激厲，然後積分給出另一時刻另一位置找到它的概率，我通過展開看到原粒子經歷了哪些二體，相互作用之和就可以反推了系統本身特徵
3樓：數學渣子
昨天看了一下費曼寫的路徑積分。發現路徑積分的提出，需要相對論的時空等效、統計力學的各態遍歷假設和麥克斯韋分布、分析力學的廣義座標和拉格朗日量。在利用路徑積分解決問題的時候，最小作用量原理才用得到。
拋磚引玉。
4樓：
說乙個不那麼科學的理解方式，其實不僅僅是波函式，一大類隨機微分方程也可以寫成路徑積分的形式了，其實就是概率波傳播的時候，符合馬爾科夫過程，轉移概率通常是 exp 的核形式，導致最終轉移概率連乘就是路徑疊加。
我舉乙個例子，比如過阻尼的運動方程，或者隨機梯度下降吧：
其中 為白雜訊，滿足 =\delta(t-t')" eeimg="1"/>
離散化：
已知:結合離散化運動關係，故此得到轉移概率為：
利用傅利葉變換：
化簡轉移概率得到：
積掉雜訊，並做替換 ，化簡一下得到：
故此，從初態到末態的概率為：
把積分帶進去，然後取極限， ，連續化得到：
所以這個隨機微分方程的作用量為：
路徑積分因為其把時間和座標一塊柔和到一起，對於協變形式的分析幫助很大。數值上也有應用，因為每個路徑的貢獻可以通過先驗知識鎖定到重要的幾支上，使得首末態轉移概率計算可以極大化簡。。。
5樓：
沒有乙個人從Kolmogorov定義出發麼？
對於乙個事件我們可以很簡單地說各個概率是多少 P(A)；
兩個事件？連續事件概率 P(A_1, A_2)；(這裡取事件是離散的，如果是連續的應該還有dA_1dA_2)
更多也好辦，可以推廣；
到無窮的極限是否有乙個合適的定義？如果可以有乙個座標圖畫出，就是在橫座標為時間，縱座標為事件上的一條軌跡（以函式f(t)表示），任取（當然是有預先分布的）的一條曲線（只要乙個時間只有乙個事件）落在此軌跡附近的概率是P[f(t)]Df，其中Df就是離散情況下df_1df_2...，對應空間一定體積。
歸一性\int P[f(t)]Df = 1函式／泛函平均值 = \int F[f(t)] P[f(t)]Df這大概是我第一次在量子力學課以外還發現統計也可以這麼玩。
6樓：melonsyk
量子力學的路徑積分表述下應該是沒有波函式這個概念的。
在非相對論量子力學中，時間本來就有特殊地位。相對論量子力學（量子場論）中的路徑積分的「路徑」已經不是乙個 path 了，而是整個時空的 field configuration，其中時間和空間地位相似。
含源路徑積分（配分函式）可以看作是的傅利葉變換：，至於這有什麼意義，我也不知道。
光的波動性。
7樓：
態空間維數有限時，可以用矩陣相乘時求和指標會遍歷乙個(離散的)路徑來理解。
參見Mumford的這篇文章：http://www.
dam.brown.edu/people/mumford/blog/2014/FeynmanIntegral.html
無限維的情形貌似目前沒被很好的理解，作用量是二次型的時候可以看作是高斯積分的無窮維推廣。。
8樓：楊曉堃
積分，本質上來說就是疊加。而路徑積分，是對每條路徑的貢獻進行疊加，也可以說是將每條路徑的機率疊加起來，就得到了從這一點到那一點的機率。而要描述一條路徑，尤其是量子概念下的路徑（多麼詭異都是可能的）需要你將每一瞬間的位置都表述出來，就是說你的自變數：
路徑，是要由無限多個量才描述的清楚的，用數學的表達就是，一條路徑可以表述為乙個無限維度空間中的乙個向量。所以，路徑積分的自變數是個向量，積分結果是從某一點到另一點的機率密度。
路徑積分不合邏輯嗎？
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