1樓：傷心淵
記得《復分析：視覺化方法》作者在書中提過，費曼與數學家就路徑積分打過賭，結果他輸了。路徑積分不是萬能的。不是費曼路徑積分有瑕疵，而是路徑積分不是萬能的。
路徑積分在物理中需要界定適用域。不適用的方面就尋找替代方法。
2樓：
困難有二：
1是量子場論本身的諸多問題，如上面諸君所述；
2是閔氏度規下的泛函積分存在諸多困難。純歐式度規下的泛函積分雖然方便定義，其解析延拓卻缺乏物理上、數值計算上的支援（即如何對有些量做解析延拓的問題）。
歐式度規下的場論已經基本上被認為沒有問題。然而是否（以及如何）能純粹從歐式場論得到閔氏場論，這是乙個很難回答的實際問題。
公理化的場論缺乏對真實物理應用的支援，即並不解決實際問題，基本上淪為雞肋。然而也有人持不同觀點。實際上這方面的研究是有益的。
究其原因似乎在於，場論本身的很多方法，或者說大部分方法並沒有被公理化、系統化。
3樓：nzczll
我最近才意識到。可能量子場論完全沒有問題。
路徑積分的發散，恰恰是正確的。
單獨考慮電磁作用、強作用、弱作用（這3大作用可以歸於一類作用，理論模式相同），確實是發散的。這並不是理論有缺陷。恰恰是這樣，才證明路徑積分在數學上是自洽的。
如果強行只積分到某個有限值，恰恰是路徑積分在數學上存在缺陷的表現。
那為什麼實際物理過程又不發散？這是因為有其它未知的作用在平衡電磁作用，導致能量在某個點，就產生最大能量值，能量再也不能繼續增加。實際物理過程，存在這樣乙個平衡點。
保證實際物理過程的能量，是不發散的。
我們所做的重整化，其實是加上這個未知的作用的效果，從而平衡掉這個發散。等效於這個未知作用。等發現這個未知作用，就不再需要重整化。
從這個角度上理解，重整化就是一種未知物理作用的效果等效。
就和現在假設的暗能量、暗物質，乙個類似的模式。實際到底是什麼，不知道，但等效於這個效果。
4樓：
今天旁聽剛好問了這個問題。用老師的話補充下前幾位答主吧。
對於光滑流形，數學上對於零維路徑積分是可以自然定義的；對於一維積分，Feynman Diagram指出在是『特殊作用』時，也可以自然定義。對於一般情況，數學上不知道的體積該怎麼自然定義，於是更不清楚一般路徑積分的自然定義、收斂條件、物理意義等等。
我不是物理方向的，摺疊我吧。
5樓：劉尚
我覺得嚴格化應該是有的，不過我還不會。
1. 題主有興趣可以看一下這本書，Glimm and Jaffe, Quantum Physics: A functional integral point of view.
Prof. Jaffe是研究constructive field theory的數學物理學家，他的老師Wightman即是公理化量子場論的奠基人之一。
2. 我這個學期在上Jaffe老師的課，他在講如何將乙個Euclidean field theory (可以理解為是經典的玻色子/費公尺子場論，因為其中算符全都對易/反對易) 在一定條件下量子化成乙個量子場論。這個量子化的過程即被理解為是路徑積分量子化，與數學中的GNS construction十分相似 (這句話是老師說的我沒學過...
)。實現這一量子化過程比較重要的乙個條件是所謂的reflection positivity，學過路徑積分的話應該有可能聽過這個名詞。
3. Prof. Jaffe在他的研究當中曾嚴格給出了一些二維和三維情況下的例子，但還沒能找到我們最關心的四維情況下的例子。
所以這一問題應該還並沒有完全解決。不過他現在把興趣轉到量子資訊方面上去了...好像還發展出了一套用來研究量子資訊的新的語言，打算後半段課講這個...
萌新對量子力學有點好奇，尤其是費曼的路徑積分，有大佬能講下路徑積分是在幹嘛嗎？
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