1樓：
多提一些例子可能還是有好處的。各種各樣的 Quantum group 作為 Hopf algebra 最重要一類例子，其威力當然早已是如雷貫耳了。既然已經有了相關回答, 而且可以很容易通過網路搜尋拓展這一巨大的 topic，那這方面東西就不用再多提。
『A Combinatorial Perspective on Quantum Field Theory』
物理當中的『重整化』對於深受數學荼毒的人們來說幾乎是不可理喻的東西，但是 Connes-Kreimer Hopf algebra 倒是乙個值得玩味的好例子。這些東西了解起來並不需要太多基礎。
類似的還有一些 combinatoria Hopf algebra 其實和一些很」初等「而又耳熟能詳的東西相關的，比如函式迭代的 Fa Di Bruno formula，甚至數值解 ODE 的 Runge-Kutta 方法，都可以看成這一切的濫觴。這些是能靠」理解「去想象的麼？
Butcher group - Wikipedia
另外有很多關於用 Hopf algebra 來表述 TQFT 的工作，但我不懂，請向相關專家請教。
John von Neumann 的一句名言一定程度上很好的回答了許多以「如何理解」為標題的問題
「In mathematics you don't understand things. You just get used to them.」
其實沒有人知道如何「理解」。遠古人類能理解什麼是 group 麼？各種各樣的 symmetry 控制著自然界的一切，觸手可及，古人類可能連用抽象的數字替代數石子木棍都理解不了，但最後也繁衍出了我們這些禽獸。
相當多的時候，數學研究還有賴於靠經驗積累和習慣它們。像 Hopf algebra, 雖然最早是 Hopf 研究代數拓撲時引入的，但幾十年後的大發展倒是完全偏離了這一」初心「。
2樓：破曉晨輝
Hopf代數源於對代數拓撲的研究。Hopf發現某個上同調群帶有這種代數結構，於是命名為Hopf代數。這個定義被發揚光大要感謝Drinfeld，他發現了Hopf代數與Yang-Baxter方程之間的緊密聯絡。
Hopf代數是個自對偶的概念，在張量範疇下，以交換圖的形式去展示，更能夠理解這種自對偶性——其定義中的每張交換圖的反向對偶圖，仍在該定義中。
直觀上去理解Hopf代數的話，其本身是乙個代數，伴有餘乘法和餘單位結構和對極結構。從張量範疇的角度去看，其中餘乘法對應於它的模範疇中的張量積結構，餘單位對應於模範疇中的左右單位約束，對極則對應於模範疇中的對偶結構——即模的*對偶空間還是模。換言之，粗略地講，乙個代數是乙個Hopf代數當且僅當模範疇是乙個有對偶的（嚴格）張量範疇。
比較常見的例子是群代數和包絡代數，其分別對應於Hopf代數中的類群元與本原元。
3樓：sine
兩個module的tensor product還是乙個module. 這個性質對於表示論來說是很需要，但經常不滿足的。同時這樣把tensor product作為module category上的乙個運算。
4樓：Yan Zou
我是來講段子的：
有一天Milnor給了乙個關於Hopf algebra的報告，Steenrod問：「What is this good for?」 Milnor楞了一下，回答道：
「Mod 2 Steenrod algebra.」 。
怕看不懂段子的我只好加個說明了：Mod 2 Steenrod algebra 是代數拓撲中最早出現的非平凡的Hopf algebra，上面有自然定義的product和coproduct結構，並且滿足Hopf algebra。因為是mod 2 coefficient，所以很多計算變得很簡單，可以說是現代代數拓撲的基石之一。
5樓：
Hopf 代數在代數群裡可以用來很簡單的證明特徵零域上的代數群一定是 reduced 的；參見：
link.springer.com/article/10.1007/BF01403391（這可能是Invent上最短的文章）
Hopf 代數，群和簇，可表涵子，這三種基本觀點在處理代數群時各有所長。
6樓：
如何理解@春雨說得非常清楚了，應用方面我說一下量子群。
量子群的發現特別有意思，因為緊緻群和半單李代數都不能被deform。但考慮algebra of functions on algebraic groups或者其universal enveloping algebra之後，它們是可以被deform的（deform之後不再是group algebra或UEA）。粗略說來，deform/quantize之後的Hopf algebra被稱為量子群，它們不需要是commutative或者cocommitative (in the sense of twist map).
可以大致把這些deformed objects看作在noncommutative space上的函式構成的代數，因此也和非交換幾何有聯絡，in the sense of Connes.
具體一點的話，第一種量子群叫做Drinfeld-Jimbo type（另一種叫bicrossproduct量子群）, 是半單李群或者仿射李群的universal enveloping algebra的deformation (引入輔助引數q)，得到比Hopf algebra有著更多結構的quasitriangular Hopf algebra.
量子群在物理中的應用主要體現在Yang-Baxter方程和inverse quantum scattering的研究中，當然純數方面也有很多應用，比如通過取極限，Kashiwara得到crystal base.
關於deformation的代數定義，我們考慮在域上的有限維李代數，它的（二階/二維）無窮小形變是當限制在上消去後（因為t是雙線性對映的係數）得到的李代數結構: ，其中是上的李括號，其反對稱條件與雅克比恒等式限制了.
然後總存在乙個constant deformation, 我們把它叫做trivial的，最後根據Whitehead關於特徵0域的李代數上同調的引理可知，如果半單，則，其中是的任一有限維表示；考慮其伴隨表示，則的任何無窮小形變都是trivial的，即半單李代數is rigid in some sense.
關於Whitehead引理，可以大致這麼理解：雙線性對映給出上的李代數，當且僅當是反對稱且是Cartan-Eilenberg復形中的2-cocycle.
7樓：
交換的hopf代數就是仿射群概型。再自然不過。
事實上，考慮乙個仿射代數群G。於是有乘法對映m和取逆對映i。
於是群性質，比如結合律，單位元等可以用交換圖表示出來。
將這些交換圖對偶到座標環上，於是座標環成為乙個交換hopf代數。不過這個時候，環是reduced的。
一般的交換hopf代數，取這個交換代數的譜就得到了乙個群概型。構造和以上一樣。
然後，對更一般的（不一定交換的）hopf代數，就變成了一些「非交換幾何中的'群'」。特別的，比如量子群，就是通過把一定的交換hopf代數形變/量子化得到的。
Hopf代數在物理學裡有什麼應用？
也疏寒 了解的不是很全面，但我想應用應該非常多。首先很重要的就是可解格點模型裡面，尤其是在Yang Baxter方程裡面的應用，這幾乎是量子群的標準內容。這裡我想說一下在拓撲序和拓撲量子場論裡面的應用。主要就舉幾個例子吧。粗略來說，Hopf代數可以用來刻畫物理系統的對稱性，可以看成對稱性的群論刻畫的...
如何理解 代數？
Ahuva 一些最小的玻爾 代數 常常在測度空間 上是勒貝格 代數 的子 代數 的可數交並且它們包含同乙個度量拓撲 在緊湊光滑流形 上. 王李晉 怎樣算是理解呢，我舉例子吧，從概率論的角度講，定義 代數的那些條件其實為了用來方便地定義各種事件。先從有限事件的情況開始看，比如乙個靶子，有1到10環，在...
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木不易 搜回答看得真的火大 說點人看了能算題的話成嗎？我搞懂了我自己來答 好吧 線性代數範圍內 幾何重數 某一特徵值對應特徵方程的解向量的個數 解空間的維數 代數重數m 矩陣對應的特徵方程有特徵值，相同的特徵值的個數幾何重數 代數重數 真的，大哥大姐們。解空間的的維數 它是乙個自然概念嗎？是人為定義...