1樓：何巨集健
如果你去仔細閱讀代數芽的例子你會發現微積分中的極限也就是algebra of germ 是極限的一種特殊情況。極限的要求是乙個poset 而極限是對這個範疇系統的「最簡代數資訊的提取」 也就是說是這個系統的乙個「最佳估測」。如果回到微積分的例子那麼範疇的極限就是對某個點滿足「無限接近」這個partial order概念的最佳估測。
用通俗的語言說根據universal property 任何跟無限接近有關的數學性質必須要跟微積分之中範疇的極限進行對映。並且這個對映是唯一的 up to unique isomorphism
無論是limit還是colimit 都是源自於這樣的motivation而構造的。
2樓：劉水清
在家數學的發展史中，人們早就遇到無窮大和無窮小的問題，但是，長期沒有從理論上給予正確的解釋。極限概念就是乙個很好的方法。極限概念從理性思維上講，就是一種理性規定。
然而，這種規定不是憑空杜撰而是根據一定的時代背景知識和某些專業知識及個體獨特的智慧型！微積分，哥德爾配數，集合論，等等無不如此出世。還有乙個重要特點：
運用理性邏輯思維的方法進行概念構造。這是區別於經驗思維的乙個顯著特點。不需要什麼辯證法，不需要實踐經驗，不需要什麼＂天人合一＂，或者知行合一！
3樓：CC-ss
另乙個答案已經解釋的很好了。這裡做一點點補充（既然是問「如何理解」，那...分享一些不同的理解角度應該不算跑題吧）
角度1：所謂極限不過是某個函子的可表性，所謂可表性不過是某個範疇中有initial. 所以，你就把極限看成是乙個特殊的initial就好了。
角度2：下面這個圖表在很多時候都是非常有用的。
換句話說，（在各個極限都存在的前提下，）圖 F：J → C 的極限可以分解成兩個 product 的 equalizer. 這個圖在很多極限計算上都很方便。
順便說一句，如果你已經熟悉層的定義，那麼這種樣子的圖你一定不陌生233
角度3：當然，我們可以用 Kan Extension 來理解極限。
不過說實話，這個我倒是沒怎麼用過...
4樓：
我們先從一般範疇中的極限談起：
定義：給定範疇 和 ，乙個函子 就是給 中每個物件 聯絡了 中的乙個物件 ，並且給 中的每個態射 聯絡了 中的乙個態射 ，並滿足一些相容條件。我們稱物件 錶出了 的極限，若有從 出發到每個 的態射並與之前 之間的態射相容，並且滿足這樣的泛性質：
對任意 中其他物件 ，一系列從 出發到每個 的態射並與之前 之間的態射相容，總由從 到 的態射復合上從 出發的那些態射所唯一給出。
我們來看一些例子：
例1（範疇中的直積（product））：
範疇中的直積（product）
這裡我們的指標範疇 就是三個「點」，它們相互之間沒有態射。給出乙個函子 就是給出了 中的三個物件： 。
那麼按照定義，它的極限 配有三個態射： ，滿足泛性質：對任意 中物件 ，每三個態射 都是由乙個態射 與 配有的那些對映復合而來。
習慣上，我們把這樣的極限記為 ，稱之為直積。
例2（範疇中的纖維積（fibered product））
範疇中的纖維積（fibered product）
解釋與之前類似。習慣上我們把該極限記為 ，稱之為纖維積。
所謂餘極限，則是把所有箭頭反向。
例3（範疇中的餘直積（coproduct））
範疇中的餘直積（coproduct）
解釋與之前類似。習慣上我們把該極限記為 ，稱之為餘直積。
作業：畫出範疇中的推出（pushout），即纖維積的對偶版本。
我們來關注交換環構成的範疇 。
我們需要知道的是，在交換環範疇中，極限和餘極限都可表。
對於極限，我們有簡單的描述：
也即所有的逆向系統，乙個所謂的逆向系統就是從每個環 裡拿乙個元 出來，它們與 間的環同態相容。
例1（進整數）
也即我們把模 產生的餘數排成一列 0}" eeimg="1"/>（ ），並且我們只考慮那些相容的餘數，也即 模 就等於 。
例2（Tate Twist）
其中 是 次單位根構成的群。
也即我們把 次單位根排成一列 0}" eeimg="1"/>（ ），並且我們只考慮那些相容的單位根，也即 。
例3（perfection）
不過交換環範疇中的餘極限不是那麼簡單，比如：
例4（交換環範疇中的推出）
交換環範疇中的推出
交換環範疇中的推出實際上是張量積： 。
但如果指標範疇 是濾過的（filtered），即對於任兩個態射 ，都存在態射 ，使得 ，這就好像是 上有個「序」，任兩個這樣的態射都「最終相等」。我們可以簡單地描述交換環範疇中的濾過餘極限：
也即把所有 中的元 放在一起，稱 等於 ，若它們在某個 中的象是一樣的。
例5（代數閉包）
也即有理數域 的任一代數閉包 ，都是它裡面有限子擴張的濾過餘極限。
例6（函式芽）
層在一點處的芽，就是這點所有鄰域上的截面構成的濾過餘極限。按照我們之前對濾過餘極限的描述， 無非就是把所有鄰域 上的截面 並起來，稱兩個截面 在芽上相等，若 限制在某個更小的鄰域 上相等。
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