1樓：衝衝衝
這個實際上，看你怎麼去認識無窮大無窮小。
所以，會有不同的觀點，而且，都可以自洽。
1.無窮小最終會指向0，這就是極限理論。
2.無窮大，是實數的邊界，無窮小是小於任何實數的超實數，為了不和實數的連續性矛盾，把0點變成微觀的一條直線。
3.無窮大，是相對於當前尺度1足夠遠的乙個相對的形容詞。無窮小就是乙個足夠小的相對距離，相對就是不可確定，反正比你小。
2樓：無問西東
拜讀了上面幾個高讚回答，終於理解了，加上自己的思考後自己也來回答下。
極限到底是什麼呢:
拋開定義想一下，極限是什麼呢，說白了，極限就是當自變數趨近於某個值時，函式無限逼近的那個值。那知道了極限是個什麼東西，我們就去想，極限有什麼用呢，任何乙個概念被定義出來都該有其應用的價值吧。
極限的例子：
比如我們用圓內的正多邊形去逼近圓的面積，我們知道當邊數不斷增多時，正多邊形的面積值就會無限向圓的面積值接近，這個過程中多邊形所無限趨近的值就是我們剛才所說的極限。
極限的定義:
ok,那現在我們觀察到這種普遍存在的現象，該如何去將這種現象用數學語言抽象的，嚴密的表示出來呢？再回憶下我們剛才用自然語言對極限的描述，即若自變數趨近於某個值時，函式無限趨近於乙個函式值，則這個函式值就叫做極限。現在來把這個自然語言轉換成數學語言。
首先看前半句，"自變數趨近於某個值"
其中，'自變數'可用x表示 , '某個值'可用x0表示,即變成"x趨近於x0"。接下來，'趨近於'如何表示呢。趨近於描述的應是乙個過程，比如說你趨近於我，說的是你從乙個點走近我的乙個過程，所以x趨近於x0就是說x走近x0的乙個過程，那如何用數學表示乙個過程呢，幾個孤立的點肯定不能表示乙個過程，只有連續的點才能表示乙個過程，那連續的點在數學中不就是區間嗎，我們可以設x與x0的初始距離為a,則在x趨近於x0這個過程中，x與x0的距離始終在（0，a）這個區間內，而距離又可以用差的絕對值表示，所以就有0<|x-x0|然後說後半句，函式無限趨近於乙個函式值
其中，函式值，用f(x)表示，趨近的那個函式值，用A表示，如果不看無限這兩個字的話，按照上面的分析，用區間表示趨近於，若設這個過程中f(x)與A的最大距離為b,則這句話就可以表示為|f(x)-A|0。那連起來，就是b>0，都有|f(x)-A|好，現在來將前後兩句合起來，就變為，若當0<|x-x0|0，都有|f(x)-A|0,b>0，當0<|x-x0|，b換為 ，就是書上的定義了。
總結：
分析了極限的定義後，我覺得我們可以把極限看作是乙個過程的產物，最開始，x從乙個點出發，向x0趨近，x每走一小步，f（x）的值就會變化，如果在這個過程中，f(x)始終在無限趨向某個值，那這個值就是極限值。
我覺得許多人不理解這個定義的主要原因是對>0，和 >0不太理解，實際上我們前面分析了，表示的是初始距離，無關痛癢，存在即可；>0表示的無限趨近中的無限，表示函式值與極限值非常接近，有多接近呢，兩者距離可以小於1嗎，可以！可以小於0.1嗎，可以！
可以小於一百億分之一嗎，可以，距離要多小我都可以滿足，任意小，所以取了個任意符號。
3樓：The Tour
大家都在說極限是什麼，以下是極限存在的序列函式是什麼
收斂序列的函式的定義：a(u∈axy(=u) 且 xyz(當 ∈a 且 ∈a 時，y=z) 且 Nn∈N(當 n>N 時，y((n,y)∈a)) 時，Aε∈R+Νn∈N(當 n>N 時，y((n,y)∈a 且 |y-A|<ε))，當且僅當 a 是乙個收斂序列的對映）
4樓：Szckao
對於『極限』，其實現在還沒有精確的理解
極限的『模糊』不在於描述語言多繞，而是在於其根本『無限趨近』的確切意義無法定量分析
對於『無限』，我覺的我們還是處於乙個直覺的理解狀態，並沒有對於『無限』這一概念本身有著透徹的邏輯理解
『任意存在』語言，也只是基於數軸是『無限』這一共識之下，算是取巧，並沒有直接解決『無限』的問題
具體的說，『無限』究竟是什麼？如何客觀的、邏輯的描述？如何使用數學語言精確捕捉？
5樓：岩芯
「重劍無鋒，大巧不工，四十歲前恃之橫行天下」。解釋極限，得返璞歸真，從原始狀態開始說起。
早在戰國，莊子說，一日之棰，日取其半，萬世不竭；三國時的劉徽割圓術：割之彌細，所失彌少，以至於不可割，則與圓合體而無所失也。
鄭板橋在濰縣時作，衙齋臥聽蕭蕭竹，疑是民間疾苦聲。竹子每天生長，一年後會長很高，可是每天每個時辰裡的變化甚微，可以看做不變。
岩燒店的菸味瀰漫，隔壁是國術館，周杰棍的雙截倫，並不均勻，取微段，可以看做圓柱體。
煙燻的太歲，火燎的金剛—馬內，看著足球從空中自由落體，速度越來越快；但在極短的時間間隔裡，可看作勻速。
女人用轆轤從井裡打了一桶水，桶是錐形，桶裡水面上公升，體積變化不均勻；高度變化微小時，體積變化可看做均勻。
前門規則的磚頭，砌出不規則曲折複雜的圖形。
開車走四環，某時間間隔內的平均速度，如果間隔取無窮小，就是瞬時速度。
生長無限分段，形狀無限分割，體積無限剪下，速度無限離合，這些思想都是極限思想。
16世紀法國笛卡爾把變數引入數學；英國瓦里斯（1616-1703）提出變數的極限；瑞士尤拉和法國達朗貝爾描述了無窮小的概念；捷克波爾查諾把微積分建在極限基礎之上；法國柯西說無窮小是極限為零的變數；德國維爾斯特拉斯用靜態語言ε-δ，才把極限微積分徹底說精準。看出來了嗎，法國數學家多。拿破崙在埃及發現了一塊兒有象形文本的石頭，高興。
大宴群臣，酒至半酣，看著傅利葉說道，「來來來，老傅啊，給大夥講道數學題助助興；你講完，蒙日講。」未完待續……
再說回來，ε真好。一方面她任意，流動，無限；一方面她又確定，靜止，有限。是雙料間諜，是獨眼拄拐的王者峽谷的蛇蠍美人-公尺萊狄， 為什麼說她是公尺萊狄，因為公尺萊狄是法國三個火槍手裡的女主角，一會兒親近阿多斯，一會兒親近黎塞留主教，一會兒親近漢諾瓦公爵，這不是她多變嗎；不變的是為她自己的利益。
插曲，黎塞留主教去世的時候，恰逢艾薩克-牛頓出生。把ε公尺萊狄放在心裡多停留一段時間，撫摸她，把玩她。推塔才是你對戰的極限。
再說回來，有個數列或是函式，他的極限是A，ε是any thin little space. A=ε,可以說，極限是無窮小；A=1/ε, 可以說，極限是無窮大；A=A+ε可以說，極限是某個值。
極限是某個值到時候，好比楊過行蹤軌跡是這個數列或函式，他一會兒去臨安牛家村，一會兒去嘉興，一會兒到桃花島，一會兒到終南山活死人墓；一會兒到華山，一會兒到大勝關，又回到終南山；去絕情谷，又回終南山；去襄陽，最終回終南山。規律是，他的極限是終南山活死人墓。上上下下來來回回越過終南山邊界，最後回到裡面不再出來。
他為什麼軌跡是這樣的呢？因為自變數變化，而且這變化有個潛在趨勢，連他自己也不知道，那就是性格。
正所謂性格決定命運。他四十歲後，不滯於物，草木竹石均可為劍。
6樓：robin
這是我在另乙個問題的回答，僅供參考，求輕噴https://www.
7樓：李神針
無窮小是乙個常數，這個常數非常小，是最小的數。
一旦某乙個數加了無窮小，他便不等於他本身了。
因為他足夠小，所以，任意乙個數，加了無窮小之後，雖然不再是那個數本身，但是，卻巨集觀數值上卻沒有多大變化。
所以，當乙個數離另乙個數的距離是無窮小的時候，即便這兩個數不完全相同，但是巨集觀數值相等。
8樓：紅日照小池
惠施曾經這麼說過
一尺之棰，日取其半，萬世不竭。
這句話在物理上是否正確，我們不去考究，在數學上，倒是非常的正確。一天之後，大錘的長度為 1/2，而兩天之後的長度為 1/4，三天之後的長度為 1/8。很容易得出，n天之後，錘的長度為 。
那麼不論多久，n有多大，大棰的長度總是有的。
大棰的長度會變成0嗎？顯然不會，不論經過多久，130億年後，大錘依然有長度。
我們再看另外乙個問題。求
我們將它寫成極限的形式：
這個問題似乎很難，我們把它寫的簡單點。
這不就是把大錘每天剩下的木料拼起來嗎？
驚覺這一點之後，我們立刻意識到，木料的總長度是1，所以，這題的結果是1.
但這一題的結果真的是1嗎？恐怕不是吧，大錘不論在第幾日，總會剩一點點，蒼蠅再小也是肉，總有一點留下來。所以，括號裡的算式的結果不是1,而是比1小那麼一點點。
不管n取多大，總會比1小。但這個算式的極限是1。那麼什麼是極限呢？
極限就是永遠達不到的那一點。
極限就是第乙個達不到點。
第一點我們很好理解。第二點是什麼意思呢？我們注意到括號中的式子很顯然能達到0.
99，那麼能不能達到0.99999999呢？可以的（用計算器計算一下就知道了）。
我們有信心說，它能達到任何小於1的數，但就是不能達到1，所以，極限就是第乙個達不到的點。
這和我們生活中的說的極限的概念也很類似。我們生活中說某人到極限了，意思就是再接下來他就會死，而數學中的極限是世界上最遙遠的距離，永遠無法達到，永遠一步之遙。
9樓：BracKet
數列極限ε-N:只要足夠遠，就能任意近
函式極限ε-δ:只要足夠近，就能任意近
題主應該是準大一新生吧，記住，不要一上來就照著一堆符號死記硬背，只有在把握了核心思想後，才能真正的掌握
10樓：
這是乙個好問題。相信九成以上初學者在第一次接觸極限的嚴格定義的時候，都會感到不舒服。
實際上，有人真的很誇張。
首先，對於數學系學生或者數學科研人員搞懂其嚴格定義是十分必要的，但對於物理，通訊，金融工程等非數學系專業學生搞懂極限的思想和直觀含義是更加重要的，能計算和應用到其它學科才是重點。
首先，函式極限的定義是這樣的:
0, 存在\delta>0使得, 只要0<|x-c|<\delta 都有\\ |f(x)-L|<\epsilon." eeimg="1"/>
直觀一點的表達就是:
只要無限靠近, 函式值就無限靠近。這是為微積分的發展服務的，因為這樣做才能精確定義微分和積分等。
牛頓，萊布尼茨最早發現微積分的動機主要是要解決物理和幾何的一些問題。
牛頓考慮的是物理問題，把函式看成物體隨時間的運動速度，那其導數就是加速度，積分就是位移。
萊布尼茨考慮的是幾何問題，其使用的記號更加直觀，就是我們現在用的這一套。
比如微分，導數的定義， 。
同時其幾何含義也是非常清楚的，即函式 在x處的切線斜率。
積分也是如此，它是函式相應求和的極限， .(留意兩邊記號的相似性。)
同樣的，其幾何含義是函式影象與 以及橫軸 圍成的封閉影象的面積。
但是牛頓和萊布尼茨並沒有給出嚴格的定義，一直那麼用了很長時間，
直到柯西等人才完成，其中最重要的就是極限的嚴格定義。
其實，極限定義的難，不是在於語言，而是『任意-存在』這種邏輯結構。
就是不說人話！
極限的定義不是抽象，點集拓撲，抽象代數等這些課才適合用抽象來形容，極限的定義應該叫繁瑣，原因就是它用了『任意-存在』這種邏輯結構。
多數人有心理障礙的原因有兩點:
1. 大家更加適應和習慣自然語言，而第一次認真的接觸邏輯語言是會不適應的，就像你第一次學習程式設計一樣，肯定既興奮又不太適應；
2.練習或是接觸的頻率不夠，接觸多了你就會覺得相對直觀和舒服多了。其實我們學習中文或是英文這種自然語言也是如此啊，中文從小到大一直學習和使用你就覺得親切，英文要是接觸少一些你自然就會有不少心理障礙，邏輯語言就更是了。
因此多練習就好。你可以舉些生活中的例子來讓你看上去更直觀一點。
比如，對世界上的任意兩個人 ，都存在正整數 ，使得這兩個人可以通過這些人打通認識橋梁，即 , 其中 表示a與b認識。
這很有意思吧？比較符合你的直觀認識吧？
我們把任意和存在對調下順序:
存在正整數 ，對世界上的任意兩個人 ，都能找到，使得這兩個人可以通過這些人打通認識橋梁，即 。
如果這個命題是對的，那麼上述正整數的下確界一定是大家關心的話題。
，這就是著名六度空間理論，指最多通過五個陌生人，你就可以認識世界上的任何乙個人。
等你經過一些練習，已經擺脫了極限嚴格定義的心理障礙之後。(其實沒那麼難)
你就高階到乙個新的水平。這時候，你會發現大家是這麼描述極限的:
，即對的任意小的鄰域內，都包含著的某個鄰域的象。
，即對的任意小的鄰域內，都包含著數列的幾乎所有項。
再到後來:
, 即只要 無限靠近 , 函式值就無限靠近 。
, 即只要 無限靠近正無窮 ,數列就無限靠近 。
所以，你看到最後又返璞歸真了。
沒有人想要一直拖著重重的殼，你拖著重重的殼肯定是為了訓練自己啊，直到你把重重的殼輕易的裝入口袋。這就是華羅庚先生說的，把專業書讀厚再讀薄的意思。
你此時的看似接近自然語言的表達:
只要 無限靠近 , 函式值就無限靠近 ,
已經不再是你沒學極限嚴格定義前的懵懂臆想了，而是
對 的任意小的鄰域內，都包含著 的某個鄰域的象
的凝練，專業，嚴格的邏輯含義。
到此，你大概能初步感受數學的邏輯之美了！
祝進步！
那些年被數學虐的我們
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