1樓：ryan4real
關於好久之前自己提的這個問題的自我思辨與解答：
之前在微積分學習中一直在想，憑什麼你定義曲邊梯形的面積為近似求和再取極限，後來在無窮積分時這個問題又被無限放大，每天在隱隱的痛苦中度過，老師非要照本宣科說無窮曲邊梯形的面積有定值，乙個在空間上無限延伸覆蓋區域的東西怎麼可能有定值，如此反直覺真的成立嗎，後來才想明白無窮積分不是面積而是一組面積的極限，同時引發另乙個問題，憑什麼曲邊梯形面積就是近似求和再取極限，我覺得這就是答案，既然長方形的面積只是因為和長和寬同時成正比（平移不變性）而人為定義為此的，那麼曲邊梯形的面積定義則是人類別無所選的一種描述其面積的方式，所以定義為此，無窮相加永遠不會為定值，無窮相加的極限才是定值
2樓：shm
我也在想這個問題。面積的大小可以用單位面積來定義，所以在數學中，定義面積比顯然比定義面積更為重要。定義面積有很多手段，比如佔據二維空間的大小，但這樣的定義有什麼意義呢，就好比歐幾里得在《幾何原本》中把點定義為沒有部分的東西，那麼進一步需要定義部分和東西，不僅如此，縱觀整個《幾何原本》，沒有一處證明用到了點的定義，那麼這個定義就是無效的。
同樣，把面積定義為佔據二維空間的大小也是同樣無效的定義。面積大小可以通過單位的變換有不同的數值，而面積比在數學上則是確定的值，所以面積應當是通過單位面積計算得到的。綜上所述，我認為單一的面積不可被定義，定義面積比比定義面積更有意義，面積是算出來的，至於如何定義面積比還需更深入的思考。
3樓：
實際上這是個測度論的問題。面積是一種測度，長度、體積也是一種測度。設 為 -代數（就是對補和可列並運算封閉的集合） ，當乙個函式 滿足以下條件時，我們稱它構成乙個測度：
空集測度為零（廢話了）：
-可加性（面積守恆）：對兩兩不交的集合序列 ，成立 。
題主的問題就落在第二條上：按照題主的「直覺」，右邊是無窮項相加，理應是 。但其實世界上存在著收斂序列這種東西，比如 。
注意測度的定義本身並沒有規定某乙個除空集以外的具體東西的測度究竟是多少，它只關注測度在 -代數下的運算性質，那麼理論上我們可以構造出無界圖形有有限面積的、甚至有界圖形有無限面積的測度。比如：
在 上定義 且 旋轉、平移不變。這是二維上的長度測度，拿它去測正方形就會發現，正方形的測度是 ；
在 上定義 且 平移、翻轉不變。它把整條實軸長度定義為 ，雖然很奇怪，但它確實滿足測度定義。在這個測度下，正半軸 長度為 ，任何有限區間長度為 。
4樓：三川啦啦啦
面積和長度可以模擬：
線段 長度為 是什麼意思呢，也就是說 的長度是單位線段的一又二分之一。
面積也是同樣的道理，只要我們定義了單位面積，那麼其餘的面積都可以以單位面積去度量。通常，我們選擇單位正方形來定義單位面積，我想這個無需解釋。
於是，我們有了計算矩形面積的公式：
例：矩形每行有 個單位正方形(即長為 )，每列有 個單位正方形(即寬為 )，由乘法原理，我們知道矩形是由 個單位正方形構成，於是它的面積即為 。
推而廣之，矩形面積 =長 x 寬。由割補法，可知平行四邊形面積公式；三角形是等底等高平行四邊形面積的一半...
所以到頭來，其實我們只知道像矩形這樣規則圖形的面積，而對於不規則圖形面積的定義，實際上隻字未提。
對於不規則圖形的面積，我們該怎麼辦？
計算地圖上某一地區的面積（比如北京），一般的方法是: 先用直尺在地圖上畫等大的方格，越細密越精確，然後我們數數落在「北京」範圍內的方格有多少個（更聰明的方法是數十字交叉點），然後再乘以每個小方格的面積，最後別忘了乘比例尺的平方，於是就得到北京地區面積的近似值。（以上做法的依據可以檢視皮克定理。
）將上面的過程抽像化、符號化，就得到「面積」的定義：
對於區域 ，可以沒有重疊地將 個矩形覆蓋，將這 個矩形的面積之和記作 ，若序列 的上確界存在:
即為區域 的「面積」。
實際上，在測度論中，我們稱上面所定義的面積為內測度。
仿造內測度，還可以定義外測度，即是區域 被一系列矩形所覆蓋且沒有重疊的部分，那麼這些矩形面積之和的下確界就是外測度。
而面積現代定義是：當區域 的內測度與外測度等於同一數值 時， 就是 的測度，也就是面積。
通俗地說，就是我們由從「內」和從「外」兩種方法去逼近同一區域，這個過程的極限就是所求的面積。可能有人覺得沒這個必要，但是的確存在不可測的集合，也就是說它內外測度不相等，這就屬於題外話了。
剛才我們似乎對區域 的有界性或者無界性並未強調，那麼剛才的定義還適用於無界區域嗎？
比如上圖中紅色折線與座標軸圍成的無界區域記作 ，在塞進去乙個面積為 的矩形，還有多餘的空間；再塞進去乙個面積為 的矩形，還有多餘的空間……繼續以上步驟，剩餘的面積越來越小，趨於 ，那麼我們認為這個區域的面積是：
這就是我們對無界區域運用相同的定義所獲得的結果。
隨便一本數學分析關於黎曼積分的內容
隨便一本實變函式關於測度的內容
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