1樓：王小龍
回答題主的兩個疑惑："如何定義面積"以及"如何理解多重積分"。
一、如何定義面積（體積）
用二維來舉例，對於任意有限維都適用，詳細定義請參考測度論。
簡單幾何圖形的面積是唯一確定的，比如長方形的面積就等於長乘寬，所有人都沒有異議。但是有些奇形怪狀的集合則不容易求其長度、面積、體積。數學家採用的定義方式的思想是：
拿來一大把長方形"碎屑"覆蓋要求面積的圖形，然後把這些長方形碎屑的面積加在一起，得到乙個值，因為是完全覆蓋，所以這個值一定大於圖形的實際面積（如果存在的話）。
然後用越來越細的碎屑來覆蓋，操作的時候也小心地讓不同碎屑相互重疊的區域盡量小，再次計算覆蓋使用碎屑的總面積，會發現這個值變小了一些。
不斷重複這一過程，最終使用的碎屑面積將趨向於乙個固定值，這就是待求物體的面積。
下面（大體）說說這一過程是如何一步步構造出來的（請自帶暈車藥）：
把邊平行於x軸和y軸（開區間、閉區間、半開半閉區間都包括）的小長方形，全都拿出來組成乙個集合。它就是我們可以直接使用的尺子，用來覆蓋待求圖形，其面積應該是已知的。你也可以任意選一些東西組成這個集合，隨你意，這些初始圖形的面積應該是非常簡單沒有歧義的。
在這個集合上定義交、並和減運算。這些運算非常實用，你要測乙個2.7厘公尺長的東西，可以用兩把長分別為3和0.
3厘公尺的尺子，也可以用兩把長分別為2和0.7厘公尺的尺子。加上其他一些條件，把經過上面這些運算的二次加工元素也加入進來，得到的集合稱為乙個代數。
把（可數）無限個小碎屑加在一起是否有意義，這是乙個關鍵問題。允許雕刻家精雕細琢無限次來獲得對乙個複雜雕塑的掌握是有益處的，因此，我們允許可以把中可數無限個元素進行並運算，包括進來由這個運算構造的元素，這樣就把代數公升級為代數。
有了代數，下面要在它上面定義乙個函式，這個函式以乙個sigma代數中的元素為自變數，對應函式值是乙個非負實數。它具有單調性：如果是的子集，則，具有可加性：
如果兩個圖形不相交，則，具有可數可加性，如果可數個圖形不相交，則，這樣，代數上的這個函式就是乙個測度啦，使用不言自明的初始圖形的面積定義，和上面這些集合運算特別是可數可加運算，這個測度就暫時確定了。能夠用它測出的集合稱為可測集合。從以上列出的性質還可以得到其他一大堆推論。
給你乙個代數，其中的碎屑可以使用可數無限個，這個性質非常棒，當我們要測量乙個奇怪的物體時該如何操作呢，這個物體可能不在已知的代數裡？答案是，用最多可數無限個基本圖形去覆蓋它，然後取下界：，這種構造稱為外測度。
外測度可以測量任何集合。
接著，乙個定義在代數上的非負可數可加測度需要完備化，稱為Lebesgue擴充套件。目的是讓它能測量稍微有點奇怪的集合：乙個集合，如果在代數中總有和它差異不大的元素，準確地說：
如果對任意0" eeimg="1"/>，在代數中總存在乙個可測元素，使和的差異部分：的在代數上定義的外測度小於，則我們認為也可測，稱為可測。別小看加入的這些邊角料，很多奇怪而重要的圖形從此搖身一變，可以被測量了。
我們用代數構造出代數，在上面定義測度，然後用測度定義外測度，用外測度的定義把一些原來不可測的集合擴充套件進來。現在神奇的事情來了，這個擴充的集合也是乙個代數，外測度限制在這個擴充集合上保持可數可加性，外測度限制在原代數上和原測度恰好吻合。在一定意義上，這種Lebesgue擴充套件是唯一的。
測度的構造就講完了（暈了沒？）。根據定義不同，測度可以有很多種，黎曼積分定義中上和等於下和的思想，來自於Peano–Jordan測度，概率的定義使用的是Lebesgue–Stieltjes測度，我們真正需要的應該是和大家日常生活中所說的面積、體積對應的那個，被稱為Lebesgue測度，來自於最開始我們構造代數時，使用和座標軸平行的所有小正方形作為最初的材料，這種方法跑一遍上面的流程，最終得到的測度就是傳統意義上的面積。
二、如何理解積分
如果只是想學會多重積分，則完全不需要掌握面積的精確定義。以二維積分為例幫助題主理解一下積分的含義。
咱假設現在有乙個二維區域，在上面定義了乙個函式，現在要求積分。原理是這樣的：
首先，我們把積分區域劃分成好多個小格格，每乙個小格格都是正（長）方形，其邊界平行於x軸和y軸，每個小格格長是（），寬是（），這兩種符號你可以理解為都表示很小的意思；
然後，因為每乙個格格很小，近似可以認為在每乙個格仔上函式值相等，因此我們隨便從第個小格格裡挑乙個點，然後認為在整個格仔上函式值都等於，因為每乙個小格仔都是長方形，自然認為它的面積是（）；
最後，我們把每乙個格仔乘以在上面的唯一函式值，然後對所有格仔求乙個和，就得到：
，的確，這只是乙個近似，但是你可以把格仔取地越來越小，這個求和值就越來越趨向乙個固定值，就是我們要求的積分。
三、如何理解積分變換
咱現在假設有乙個二維區域，在上面有乙個積分，現在有一組變換,在所在的座標系下有乙個區域，經過變換後，恰好就變成了區域，現在要找乙個積分滿足：
我們分別來看看對於每乙個小格仔，待積分函式和積分區域都是咋變化的：
對於待積函式有，沒什麼奇怪的；但是對於小格仔本身，邊界和x、y軸平行的長方形不再變成邊界和u,v軸平行的長方形，而是變成了某種傾斜的平行四邊形，準確地說，邊和邊分別變成了：
在uv座標系中，類似於和是平行於x軸和y軸的小棒棒，和分別平行於u、v座標軸。我們定義一種運算，表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積，那麼就有：
，因為鄰邊平行的長方形也就是被壓扁的長方形面積為0
,面積在這裡是有方向的
好啦，來看看能得到什麼：
因此把二者結合起來就是：
把各自的積分區域帶上得到：
因此，積分變換中之所以需要出現乙個多餘的雅克比行列式，就是因為它恰好是變換前後小格格的面積縮放比例，積分變換不僅要保證被積函式對應相等，還要保證每乙個小格格的面積對應相等，用雅克比行列式來補償。
符號是外微分、微分形式，你可以在卓里奇版數學分析中找到它。
你看，說了這麼多，沒有用到測度這個東西吧，但是空間變換這個思想則是你在學習積分中最有利的乙個工具。
2樓：
矩形的面積不解釋。
一般圖形的面積就是給它賦予乙個數S，給出總面積小於S的一堆矩形不足以覆蓋住它，而它的內部也容不下總面積大於S的一堆不重疊矩形。
當然，有的圖形是無法給出面積的。
3樓：
我覺得樓主你不能理解曲面積分和多重積分與你有沒有學習實分析無關。
學習實分析是第二層。你還停留在第一層。
PS: 你可以把問題表述的在 detail一些。
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