1樓：Jameson
大致理解了題主的意思，但不知道我是不是百分百理解了，因此我將按照自己的理解指出題主說法中的不正之處。我覺得問題描述中的「如果在比某乙個 δ1 大的 δ 之後都有任意小的 ε」可能是杞人憂天了，因為題主你並沒有意識到極限定義中的「ε任意小」+ 「區間內的f(x)都滿足」是乙個多麼嚴苛的條件
我就從題主的設想出發，結合影象來分析吧：
按你所說，先確定乙個去心鄰域(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)，δ>δ1，此時函式在x=x0處被分成了兩個部分，且函式在這兩個部分是有定義的，為了不考慮函式的連續性，不妨把這兩個部分的函式想象成乙個乙個散點，每乙個點都對應乙個f(x)
接著，假設函式極限為A，由於|f(x)-A|<ε等價於A-ε0，甚至可以直接把兩條線壓成一條直線y=A，但無妨，反正ε具有任意性，可以說能無限往A夾，只要你能說出乙個比0大的數ε0，我就能壓到(A-ε0,A+ε0)
然後，根據函式極限的定義，去心鄰域(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)內的每個點的函式值f(x)都要在兩條「雷射線」所夾的範圍(A-ε,A+ε)內，現在假設函式不是常數函式f(x)=A，則必有f(x)≠A，因此必有乙個點B使得|f(x1)-A|=L>0
重頭戲來了，假設L>L1>0,令ε0=L1，則點B的函式值f(x1)不在(A-ε0,A+ε0)內，不符合極限的定義中的「ε任意小」+ 「區間內的f(x)都滿足」，與函式f(x)極限為A矛盾
因此其實只有常數函式f(x)=A能滿足題主的假設，其他的函式想要在「雷射線」的夾擊下滿足極限存在，只能一直縮小去心鄰域的範圍，剔除類似的點B，這樣也就達到了題主所說的「x 趨於某乙個常數a（x0）」
這告訴我們，只有無窮才能對付無窮，ε其實就是一種無窮小，想要靠乙個靜止的去心鄰域半徑δ去限制住它是不可能的，除非f(x)為常數函式，但此時的f(x)也失去了其作為因變數隨著自變數變化而變化的活力，變得死氣沉沉了
2樓：tetradecane
定義函式在某一點的極限，確實可以不依賴完整的去心鄰域，而是可以定義在聚點處的極限。不過這個概念在工科高數裡面大概不涉及。
至於聚點極限具體是啥，請自己找找資料。
不知道這能否一定程度上對題主有幫助。
當然，如果僅考慮定義在去心領域上的極限，這個 定義沒有任何問題，非常精準。至於題主在問什麼亂七八糟的，我沒有看懂。如果你覺得這個定義不好，請用精確的數學語言新給乙個定義，我們大家看看合不合理。
3樓：大寶
簡單來說，首先你要明白定義中的delta 是要存在，就是不論我з多小，都能找到這樣乙個delta。
如果隨著з的變小，我始終無法找到滿足條件的delta，那就是極限不存在。
為什麼要定義去心鄰域，因為極限是個逼近過程，這個慢慢的逼近的過程用的是з的變小，去逼delta的取小，或者N的取大。描述語言是，隨著x與x0的靠近，fx與A靠近。
4樓：何其速也
我也有你這樣的想法，到你學習到拓撲學中關於收斂或者連續函式的概念，你就會覺得這很自然。
函式極限的定義是說這樣的乙個事實：存在常數A，隨意乙個正數e，我總能找到a點的去心鄰域(a-d,a)U(a,a+d)，使得滿足一定不等式|f（x）-A|趨近是我們自然直觀的看法，就是在x不斷在實數軸上接近a時，函式值能和乙個固定常數A無限接近，也就是差的絕對值任意小。
教材上的定義和我們自然直觀的想法是等價的。教材的說法讓我們去利用這個定義時少了拘束。
雖然沒有規定，但是事實上我們可以自己在原先大的鄰域確定更小的鄰域讓這個過程中區間的長度趨近於0，這裡又涉及到數列的極限了。
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