1樓：南中國海的一條魚
笛卡爾定義的乘法是針對集合的，兩個集合「相乘」，得到笛卡爾積，也叫做直積。直積中的元素是原先兩個集合的元素按照一定次序構成的序偶，或者說是有序元素對（也可以是序列，也被稱作有序元素組）。
直積的定義是
直積中的每個元素都是序偶，其順序和參與直積的兩個集合的順序有關，如果是 ，那就是 的元素在前， 的元素在後。如果是 ，那就是 的元素在前， 的元素在後。
數和數之間是沒有笛卡爾積的哦。
但是自然數的乘法是可以通過笛卡爾積來定義的。
一開始我們學數學的時候，都會將乘法定義為是多個相同的數相加。也就是 ，這其實和通過笛卡爾積定義的乘法並不衝突。在直積裡的元素中，「橫座標」可以代表有幾個相同的數，「縱座標」可以代表相同的數是幾（反過來也沒問題）。
由於對映 是雙射，所以自然數範圍內乘法交換律是成立的（實數範圍內的乘法交換律是公理，是依據群論定義出來的）。
通過直積定義的乘法是：
比如 ，則 所以數一數就可以知道，
一開始我們學到的乘法的定義並沒有錯誤，只是由於剛學乘法的初學者尚未接觸過集合相關理論，所以只能通過最基本的現實中的「多個籃子」和「籃子裡同樣數量的蘋果」來定義乘法從而方便學生理解。然而由於乘法交換律在自然數範圍內是成立的，因而我們不強調所謂「被乘數」和「乘數」，而是統統稱作「乘數」或「因數」，因而也就不用顧忌到底是「幾個幾」相加了，只要背好口訣即可。
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