1樓：233
通分分母兩項分別帶Peano餘項Taylor展開得
(x + √(1+x) - 1 + o(x + √(1+x) - 1))與(x + o(x))
不難證明o(x + √(1+x) - 1))的無窮小量一定o(x)。再把√(1+x)展開得
1 + x / 2 + o(x) = 1 + o(x)
從而分母上可以寫為
(x + o(x))·(x + o(x))
= x + x·o(x) + x·o(x) + o(x)·o(x)
考慮到o(x)·o(x)一定o(x)，x·o(x)一定o(x)
分母可以寫成x + o(x)
事實上，可以通過帶Peano餘項的Taylor展式證明等價無窮小，然後直接在分母進行等價無窮小替換。
分子上則多展開一階
ln(1 + x) = x - x / 2 + o(x)
ln(x + √(1+x))
= x + √(1+x) - 1 - (x + √(1+x) - 1) / 2 + o((x + √(1+x) - 1))
同樣可以證明，o((x + √(1+x) - 1))一定o(x)
再將x + √(1+x) - 1展開為
x + x / 2 + o(x)
於是ln(x + √(1+x))
= x + x / 2 - (x + x / 2 + o(x)) / 2 + o(x)
考慮到(x + x / 2 + o(x))
= (x + o(x))
= x + o(x)
(先前已經證明過)
所以ln(x + √(1+x)) = x + o(x)
於是分子就是- x / 2 + o(x)
而先前已求分母是x + o(x)
分子分母同除x後得
(- 1 / 2 + o(1))/(1 + o(1))
由極限的四則運算可知
原極限 = (- 1 / 2) / 1 = - 1 / 2
如何證明下面這個式子
時間之偶 我有乙個大膽的想法不知各位能否看一下？核心思想 因為 1 y sinx的導數 1，而y x的導數 1，所以上式成立 中間是 ps 想到了乙個美妙的證法，可惜這裡空白太小 我懶得打 寫不下。 劉毓 因為sinx的導數是cosx，1 cosx 1所以，只有x是解的時候，斜率的絕對值才 1，其他...
這個極限應該怎麼求？
打打呼嚕翻翻書 在這裡不能直接用x替代sinx。看看sinx的泰勒展開式，sinx和x之間還是有差距的。分母可以直接用x代替sinx，用x 4表示。分子則至少將各式泰勒展開式至x 4階，然後進行計算，方能達到準確結果。直接用x替代sinx，則只做了一階迭代，準確度不夠的。 一般祭出泰勒就ok了，比較...
請問下面這個極限怎麼求
麻之瓜 一方面,取定 注意到 frac left 1 frac right n left 1 frac right n dots left 1 frac right n.end eeimg 1 上式右邊極限為 注意到上述不等式對任意 成立,從而可得原極限大於等於 另一方面,由 我們得到 即 由此 從...