1樓：David KZ
通過搜尋引擎，可以發現stackexchange已經有這個問題的解了：
Showing $\sup \ =1$
由於我們可以找到乙個無理數使得它任意逼近 ，基於同樣的理由，我們可以找到乙個自然數 使得 逼近 ，從而得證。
這個回答下面有提問如何證明可以找到乙個自然數 使得 逼近 ？
所以我覺得下面乙個回答說的更到位，它給出了乙個引理，對於任意乙個無理數 ，有 的小數部分在 上稠密，引理的證明後面說。
然後，由於我們可以證明 是乙個無理數，從而也可以證明 也是，而當 的小數部分可以無限逼近 我們也就得證了。而 是乙個無理數， 根據引理，我們知道的小數部分在 上稠密，也就可以無限逼近 了。
至於那個引理怎麼證明，回答讓讀者去看Dym & McKean的關於傅利葉分析的書，但我們也可以不用這麼麻煩，再搜尋一下：
Multiples of an irrational number forming a dense subset
這個問題以及下面的回答就完善多了，也解釋了引理如何證明的問題。
英文看不懂？沒關係，知乎上面也有回答這個問題的文章：
lightofsai：關於無理數整數倍的乙個性質
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