怎樣正確理解上極限與下極限？

1樓：任普軍

極限的概念最好先從數列的角度入手會比較容易接受，比如劉徽的割圓術，用圓的內接正N邊形的面積近似圓的面積，當N取不同值時就可以得到相應的一列數，而這列數的極限即為圓的面積。又如一尺之錘，日取其半，萬世不竭等實際的比如。

然後，要真正把握極限的概念，仍是要把它籠統成數學符號的言語來了解，再加以影象協助，應該不難上手的。【回答】

1、數列的極限，有兩個意思:

第一是指，一串數列(就是一串數字)，每一項越來越趨向於什麼數。

例一:1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、、、、、、越來越趨向於0;

例二:1/2、2/3、3/4、4/5、5/6、、、、、、越來越趨向於1;

例三:1、4、9、16、25、36、49、、、、、、越來越趨向於無量大。

第二是指數列之和，越來越趨向於什麼數?

例四:1/2 1/6 1/12 1/20 1/30、、、、越來越趨向於1;

例五:1/(1×3) 1/(3×5) 1/(5×7)、、、、越來越趨向於1/2;

例六:1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32、、、越來越趨向於2。

2、函式的極限:

就是當x等於某個數時，代入函式發現出了下面的八個問題之一:

a、可能分母為0，無法核算;

b、可能無量大減無量大;

c、可能是無量大除以無量大;

d、可能是無量小除以無量小;

e、可能是1的無量次方;

f、可能是無量大的無量小次方;

g、可能是無量大乘以無量小;

h、可能是無量小的無量小次方。

就必須用特別的辦法算出，當x越來越趨近於(無限趨近於)這個數時，函式的值最終終究趨向於於什麼數。

即便不呈現上面的八種狀況，思想也是相同的:

x無限接近於某個數，看看函式會不會無限接近乙個值?

這種狀況下的成果，就等同於直接代入核算，沒有不同。

2樓：

我們知道，對於單調數列，只要它有界，它就是收斂的。那麼反過來，對於乙個有界數列，它滿足什麼條件會收斂呢？分析表明，這個條件恰好與單調數列有關，只不過這裡涉及到兩個單調數列。

考慮有界數列。對於每個，我們定義集合

易知有界，所以存在上下確界與。

由此就得到了兩個數列、。根據定義，可以證明是遞增數列，是遞減數列。再次根據有界性，它們都存在極限，不妨記作

我們把這個稱為原數列的下極限，稱為數列的上極限，記作

舉個簡單的例子：考慮數列，那麼對所有的都有，因此，從而。

下面的結論告訴我們，這兩個單調數列是如何與有界數列的收斂性相聯絡的：

定理：有界數列收斂當且僅當它的上、下極限相等。此時，數列的極限就等於上（下）極限。

至此，我們就回答了開篇的問題。

根據博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理，每個有界數列都有收斂子列，即有界數列必有聚點。可以證明，

定理：前面定義的上、下極限和都是有界數列的聚點，且上極限是聚點中的最大值，下極限是聚點中的最小值。

其實，根據上述定理，我們也能給出上、下極限的新定義。當然，兩種定義是等價的。

關於上、下極限我知道的就這些了。有不少數學分析教材都講了上述內容，但是我從沒見過這個概念有什麼有趣的應用，加上定義有些複雜，所以我一直把它們當成多餘的東西，就像一元函式的微分。

3樓：逢參

小更新：刪去「同時趨向於幾個值」裡的「同時」，因為數列趨向於幾個值正是因為不同情況的n對應不同的極限。

我們知道，數列要麼是收斂要麼是發散，收斂數列指的是當n趨向於正無窮，數列趨向於乙個數，而發散數列有兩種可能，一是當n趨向於正無窮，數列趨向於正無窮或負無窮（因為我們不把趨向於無窮的數列當成收斂數列）；二是當n趨向於正無窮，數列會趨向於幾個值（或者無窮）。我們現在姑且把那些值（或者無窮）稱作極限狀態（好像有類似的概念，叫做聚點，但聚點沒包括無窮），那麼極限狀態唯一且有限的數列就是收斂數列，否則就是發散數列。下面我們來看幾個極限狀態不唯一的例子：

當n趨向於正無窮時，會有和兩種極限狀態。

當n趨向於正無窮時，會有和兩種極限狀態。這時候我們常說數列趨向於無窮（前面沒有正或負）。

當n趨向於正無窮，會有和兩種極限狀態。

說了這麼多，還沒說到上極限和下極限上來……其實說白了，上（下）極限就是數列極限狀態的最大值（最小值）。而當上下極限重合，也就說明數列極限狀態唯一，那麼數列要麼收斂，要麼趨於正負無窮。

其實還可以從子列的角度理解，有人看再填坑……第一次碼這麼多的字，求讚求感謝啊。

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