1樓：Neil Andrew
同論分析方法建立了乙個新的求解微分方程級數解的理論，這本身有很強的創新性，而且也是乙個很有趣的科學問題。它求解的一些問題比如布拉修斯邊界層是很重要的經典問題，而且它有那麼多的引用次數也確實證明了它的價值。但是至於它是否會被人們廣泛應用於各種問題中，就要看它相對於其他方法的優點和劣勢了，比如是否有助於人們對問題的理解，計算速度和成本，以及可解問題的範圍。
的確，目前同倫方法並沒有取代傳統的解析或數值方法，正如第二位答主所說，在目前世界著名科學家發表在頂尖學術期刊上的文章中，同倫分析方法確實不太多見。下面我從我的研究經歷分析一下可能的原因。
那麼回到同倫分析方法與攝動方法的比較，前者的確比後者收斂性更好，但如果我們不把後者作為無窮級數解而作為漸近解，那麼它們就不存在收斂性好壞的比較，而是級數解和漸進解的優缺點的比較。我們看乙個具體的例子，比如貝塞爾函式有級數解
它對任意 x 都收斂。當 x 很大時，它還有漸近解
我們如果想求解 在某個特定 x 的數值，級數解可能比較方便，這也可能是計算機給出數值解的方法。但如果我們要問 在 x 很大時的性質，那麼漸近解應該更加有助於我們的定性理解，因為它直觀的告訴我們，當 x 很大時，解是乙個振幅衰減的正線或余弦函式，這是個有高度概括性的結論，而且它從級數解是不太容易看出來的。 所以我們說漸近解更有助於人們對解的定性認識，這是很重要的，因為以目前的計算機的計算能力，求解一般方程的數值解已經不是很難的問題。
在得到大量數值解的同時，人們往往希望對問題有乙個一般的定性認識，也就是英文中常說的 take-home message。
現在我們可以比較同倫分析方法與（漸近）攝動方法以及數值方法的優缺點了。相比於（漸近）攝動方法，同倫分析方法更準確，且不需要引數限制，但它比較複雜，不太方便告訴人們了解的定性特徵。而且事實上，同倫分析方法得到的解比傳統的級數解更加複雜，往往只能將完整的解答儲存在計算機的符號運算程式裡。
而相比於數值解，同倫分析方法因為是級數解，計算速度也許更快一些，精度更高一些（假設符號運算並不很昂貴），但目前同倫分析方法解的方程形式都還相對簡單，比如通過自相似變換解得到成的ODE，以及線性部分可以分離變數或者有行波解的 PDE。以現在計算機的發展水平，數值方法解決這些問題並不困難。對數值方法有挑戰的問題比如N-S方程，我還沒看到有同倫方法直接去解它的文獻。
這大概因為同倫處理非線性項的基本思想還是基於攝動，即把非線性項轉變為高階方程的非齊次項，但這個方法也並不是對所有非線性問題都好操作的。以目前的情況看，同倫分析方法還不能像數值方法那樣廣泛地解決各種實際問題。
因此我們看到同倫分析方法相對於（漸近）攝動方法以及數值方法都有一些弱點，並沒有超越它們各自的優勢，我想這大概就是它還未廣泛應用的原因吧。如果這些地方得到提高，相信同倫分析方法會有更廣泛的應用。
祝大家新年快樂，科研順利。
2樓：vista
不了解具體內容。這個方法感覺門檻挺高，但是提供幾個資訊參考。個人觀點，這個方法水分比較大。
利用同倫的思想去解決非線性問題肯定是有意義的。不論是廖還是何，雖然他們打過架，但是他們都是前幾年的被高引科學家。看起來這個方法很有前景？
可是你仔細看看他們那上千次的引用，雖然沒有一篇篇去查，絕大部分都是中中國人和中東人在引用，這一點可以說明這些文章被引情況水分比較大，入坑前要小心。另外就是，如果這真的是乙個實用的好方法，為什麼發的期刊一直是JCR二區三區甚至更差的期刊。即使有一些JCR一區的，也都是偏門小專業，影響因子都不過3。
雖然期刊水平不代表文章水平，但是這麼厲害的方法發不了top，是方法不行，還是寫的不行？廖和何的中文文章大概看過一些，有時候還帶點之乎者也，可能我數學水平不夠，看不懂寫了啥，大概意思都看不懂。樓上也說了他有做過更細緻的研究，有侷限性，估計是摟著說的，一般有侷限性等於不太好用。
所以總的來說，應該是個很有創意的方法，廖名氣很大，他也確實在這方面做出了重要的結果。但是想要入坑，或者解決實際問題，還得慎重考慮。
3樓：葉影
看過他的兩本書，並照著裡面的方法編制了mathematica程式。就我個人觀點，從關於這個方法的文獻中來看，數量很多且領域也很廣，這也能體現出這個方法確實是有理論及其應用價值的。但是現在仍然有其沒有突破的限制，比如輔助線性運算元的選取，輔助函式的形式以及基函式的形式，這些選擇都沒有乙個既定的標準。
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